午後のひとときに、頭の体操をしよう。
図のような直角二等辺三角形と正方形を組み合わせた五角形がある。
この図形を直線や折線で二分割し、分割された図形が共に線対称な図形となる分け方を、
出来る限り求めよ。
まだ、考え中で解答を見たくない人は閉じてください。
さて、予告通り解答です。
図のように6通りの分割方法が見つかりました。
もしかすると、まだまだ解はあるのかもしれませんが、私自身が見つけられたのはここまでです。
さて、このような問題を解くコツはなんだろうか。
いきなり分割し始めてもいいのかもしれないが、何らかの場合分けをしないと取りこぼしが出てしまうだろう。
というわけで、対称軸となりそうなものをすべて洗い出しておき、対称軸毎に場合分けして考えるのが良さそうです。
とは言っても、やってみないと見えてこない対称軸もあるので、この問題の解が6通りしかないと言い切れないところでもあります。
図では、対称軸は細線黒で書いてあります。
(1)、(2)、(3)は直線での分割ですので、おそらく誰しもが見つけることが出来たことでしょうから、解説はしません。
左上の頂点から反時計回りに、A、B、C、Dとする。
頂点Aを二等分する線を対称軸sとして考える。
(4)の解説。
コンパスでAを中心とし、半径ADの円を描き、ABとの交点をEとする。
DからABへの垂直線を引き、対称軸ｓとの交点をFとする。
分割線をEFDとする。
AD=AE
BE=EF=ED
(5)の解説。
ABの中点をEとする。
コンパスでAを中心とし、半径AEの円を描き、ADとの交点をFとする。
FからABへの垂直線を引き、対称軸sとの交点をGとする。
分割線をEGDとする。
AD=AF
EG=GF=FD
(6)の解説。
コンパスでAを中心とし、半径ADの円を描き、ABとの交点をEとする。
EからCDへの垂直線を引き、垂線の足をFとする。
Fから左下へ45˚の直線を引き、対称軸sとの交点をGとする。
Eから右下へ45˚の直線を引き、GからADへの垂直線との交点をHとする。
分割線をEHGFとする。
AD=AE
EH=HG=GE
(5)と(6)の図を重ねると、正八角形が見えてくることでしょう。
この正八角形が今回の問題の難所であり肝でした。
この正八角形を二分割する対称軸は8本ありますので、すべて確認してみる必要があるということです。
また、二分割したそれぞれの図形が、
(1) 三角形、三角形
(2) 三角形、四角形
(3) 三角形、五角形
(4) 四角形、五角形
(5) 四角形、六角形
(6) 六角形、六角形
となっているところも興味深いところです。
こういうことも考えると、線対称になる形から試行するのもありかもしれません。
というわけで、明日はこの問題を踏まえて、もっとパターン数の多くなる問題を出題しますので、お楽しみに。
もし、上記以外の解を見つけた方がいらっしゃいましたら、コメントにてお待ちしております。
ではでは
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図形が線対称になるように分割せよ -解答編-
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