以前、折り紙で正五角形を折るということをやったことがあったかと思いますが、その話しに近い内容です。
1辺が2の正方形に内接する面積最大の正五角形を描いくとして、
赤い正五角形と、青い正五角形があったとして、
それぞれの正五角形に正中線を引いて、それぞれの直線の差異となる角度θは45˚ですね。
赤から青へ時計回りに45˚変化するとして、どこかに面積最大となるところがあるだろうという話しです。
JavascriptとHTML5で、上記の図を描いたのですが、0˚や45˚はそれほど難しく無く座標計算出来るので、描けました。
このときの、0˚から45˚までの面積最大のグラフはどんな形になるのだろうか？
山なのか、谷なのか、…
皆さん、想像出来ますでしょうか？
イメージが沸かないので、エクセルを使って0˚から45˚まで1˚刻みで、それぞれの面積最大を求めてみる。
求めてみると書いてみたものの、どうすればよいか、結構悩むかと思います。
こういうのは、逆転の発想をするのです。
とりあえず、それぞれの角度毎の正五角形を描いたとして、それに外接する面積最小の正方形を求めて、その正方形の1辺が2だったら、正五角形の大きさは比で特定出来るという考えです。
A1セルに、
x[0]
A2セルからA47セルまでを、
0
とx座標を示したとする。
B1セルに、
y[0]
B2セルからB47セルまでを、
0
とy座標を示したとする。
C1セルに、
angle
C2セルに、
0
C3セルに、
=C2+1
C3セルをコピーして、C4セルからC47セルににペースト
D1セルに、
x[1]
D2セルに、
=A2-COS(RADIANS(C2))
D2セルをコピーして、D3セルからD47セルにペースト
E1セルに、
y[1]
E2セルに、
=B2+SIN(RADIANS(C2))
E2セルをコピーして、E3セルからE47セルにペースト
F1セルに、
angle
F2セルに、
=C2+72
F2セルをコピーして、F3セルからF47セルにペースト
G1セルから、N1セルまで、
x[2]、y[2]、angle、x[3]、y[3]、angle、x[4]、y[4]
D2からF2をコピーして、G2からN47までペースト
これで、角度毎における1辺が1の正五角形の(x,y)座標が求まりました。
O1セルに、
max_x
O2セルに、
=MAX(A2,D2,G2,J2,M2)
O2セルをコピーして、O3セルからO47セルにペースト
P1セルに、
min_x
P2セルに、
=MIN(A2,D2,G2,J2,M2)
P2セルをコピーして、P3セルからP47セルにペースト
Q1セルに、
max_y
Q2セルに、
=MAX(B2,E2,H2,K2,N2)
Q2セルをコピーして、Q3セルからQ47セルにペースト
R1セルに、
min_y
R2セルに、
=MIN(B2,E2,H2,K2,N2)
R2セルをコピーして、R3セルからR47セルにペースト
これで、xの最大最小の幅、yの最大最小の高さが求まりました。
S1セルに、
width
S2セルに、
=O2-P2
S2セルをコピーして、S3セルからS47セルへペースト
T1セルに、
height
T2セルに、
=Q2-R2
T2セルをコピーして、T3セルからT47セルへペースト
これで、角度毎の正五角形に外接する最小の長方形の幅と高さが求まりました。
U1セルに、
cube_edge
U2セルに、
=MAX(S2:T2)
U2セルをコピーして、U3セルからU47セルへペースト
これで、角度毎の正五角形に外接する最小の正方形の幅と高さが求まりました。
V1セルに、
penta_edge
V2セルに、
=2/U2
V2セルをコピーして、V3セルからV47セルへペースト
W1セルに、
penta_radius
W2セルに、
=V2/SQRT((2-2*COS(RADIANS(72))))
W2セルをコピーして、W3セルからW47セルへペースト
X1セルに、
=C2
X1セルをコピーして、X2セルからX47セルへペースト
Y1セルに、
penta_area
Y2セルに、
=5*(W2^2)*SIN(RADIANS(72))/2
Y2セルをコピーして、Y2セルからY47セルへペースト
これで、角度毎の面積最大の正五角形の情報が出揃いました。
X2セルからY47セルを選択して、散布図グラフを描くと、
こんな周期性のグラフが出来上がる。
つまり、1辺が2の正方形に内接する正五角形は、9˚毎に最大と最小を繰り返すようなグラフでした。
これが解れば、赤い正五角形が面積最小で、青い正五角形が面積最大ということになっていることも解りました。
このイメージが、グラフを描く前に出来る人がいるならば、それは天才だろうな。
自分は凡才なんで、自分で描いてみてやっと納得する程度です。
ではでは