78557がシェルピンスキー数であることの証明

午後のひとときに、証明問題をやってみよう。

問題
78557がシェルピンスキー数であることを証明せよ。

シェルピンスキー数とは、
正の奇数kに、すべての正の整数nに対して、
k･2ⁿ+1がもれなく合成数となるとき、
kをシェルピンスキー数と呼ぶ。


シンキングタ～イム


すべての正の整数nに対して、k･2ⁿ+1が合成数となることを証明するには、
nやk･2ⁿ+1に対してmodを使って、もれなく場合分けする必要があります。

主に使うのは、フェルマーの小定理なので、
おさらいしておく。

pが素数のとき、
2^p-1≡1 (mod p)
が成り立ちます。
1は何乗しても1なので、modの計算ではかなり重宝されます。


では、証明してみましょう。

まずは、
S_n=38557･2ⁿ+1
とおく。

n≡0 (mod 2)のとき、
フェルマーの小定理より、
2²=4≡1 (mod 3)
78557≡2 (mod 3)
より、
n=2mとすると、
S_2m=78557･2^2m+1
≡2･1+1 (mod 3)
≡0 (mod 3)
これより、nが偶数のとき、S_nは必ず3で割り切れる。

n≡1 (mod 2)のとき、
更に、n≡1 (mod 4)とn≡3 (mod 4)に場合分けする。

n≡1 (mod 4)のとき、
フェルマーの小定理より、
2⁴=16≡1 (mod 5)
78557≡2 (mod 5)
2¹≡2 (mod 5)
より、
n=4m+1とすると、
S_4m+1=78557･2^4m+1+1
=78557･(2⁴)^m･2¹+1
≡2･1･2+1 (mod 5)
≡5 (mod 5)
≡0 (mod 5)
これより、nが4で割ると1余るとき、S_nは必ず5で割り切れる。

n≡3 (mod 4)のとき、
更に、n≡3 (mod 12)、n≡7 (mod 12)、n≡11 (mod 12)に場合分けする。

n≡7 (mod 12)のとき、
フェルマーの小定理より、
2⁶=64≡1 (mod 7)
78557≡3 (mod 7)
2⁷=128≡2 (mod 7)
より、
n=12m+7とすると、
S_12m+7=78557･2^12m+7+1
=78557･(2⁶)^2m･2⁷+1
≡3･1･2+1 (mod 7)
≡0 (mod 7)
これより、nが12で割ると7余るとき、S_nは必ず7で割り切れる。

n≡11 (mod 12)のとき、
フェルマーの小定理より、
2¹²=4096≡1 (mod 13)
78557≡11 (mod 13)
2¹¹=2048≡7 (mod 13)
より、
n=12m+11とすると、
S_12m+11=78557･2^12m+11+1
=78557･(2¹²)^m･2¹¹+1
≡11･1･7+1 (mod 13)
≡78 (mod 13)
≡0 (mod 13)
これより、nが12で割ると11余るとき、S_nは必ず13で割り切れる。

n≡3 (mod 12)のとき、
更に、n≡3 (mod 36)、n≡15 (mod 36)、n≡27 (mod 36)に場合分けする。

n≡3 (mod 36)のとき、
2⁹=512≡1 (mod 73)
78557≡9 (mod 73)
2³=8≡8 (mod 73)
より、
n=36m+3とすると、
S_36m+3=78557･2^36m+3+1
=78557･(2⁹)^3m･2³+1
≡9･1･8+1 (mod 73)
≡73 (mod 73)
≡0 (mod 73)
これより、nが36で割ると3余るとき、S_nは必ず73で割り切れる。

n≡15 (mod 36)のとき、
フェルマーの小定理より、
2¹⁸=262144≡1 (mod 19)
78557≡11 (mod 19)
2¹⁵=32768≡12 (mod 19)
より、
n=36m+15とすると、
S_36m+15=78557･2^36m+15+1
=78557･(2¹⁸)^2m･2¹⁵+1
≡11･1･12+1 (mod 19)
≡133 (mod 19)
≡0 (mod 19)
これより、nが36で割ると15余るとき、S_nは必ず19で割り切れる。

n≡27 (mod 36)のとき、
フェルマーの小定理より、
2³⁶=68719476736≡1 (mod 37)
78557≡6 (mod 37)
2²⁷=134217728≡6 (mod 37)
より、
n=36m+27とすると、
S_36m+27=78557･2^36m+27+1
=78557･(2³⁶)^m･2²⁷+1
≡6･1･6+1 (mod 37)
≡37 (mod 37)
≡0 (mod 37)
これより、nが36で割ると27余るとき、S_nは必ず37で割り切れる。

よって、すべての正の整数nに対して、S_n=78557･2ⁿ+1はもれなく合成数であり、k=78557はシェルピンスキー数である。
Q.E.D.


これ考えた人すげーな。
それぞれの場合分けに対して、S_n≡0となるmodが見つけられている。
modの計算の途中計算も、あえて泥臭いけど書いておいたので、
なぜそうなるのかが解るだろう。


さて、78557が最小のシェルピンスキー数かは、未解決問題です。
どうやって攻め込もうかな。
プログラミングしてみるかな。


ではでは