シェルピンスキー数

今日は、数学の未解決問題を書いてみようかと思う。

シェルピンスキー数というものがありまして、

kは正の奇数、nを正の整数とするとき、
k･2ⁿ+1が、すべてのnに対して合成数となるとき、
kをシェルピンスキー数と呼ぶ。

最小のシェルピンスキー数は78557と言われているのですが、それ未満にシェルピンスキー数が存在しないことを証明出来ていないのです。

一般的に考えて、小さな値から検証していくものじゃないですか。
それで、始めて見つかったものが、最小の〇〇数みたいに呼ばれるわけですよね。

なのに、78557が見つかっているのに、それ未満の値にシェルピンスキー数が存在しないということが証明されていないというのは、不思議な感じがしますね。


それよりも前に、シェルピンスキー数であることの証明って、どのようにやるのでしょうか。
すべてのnに対して調べるということは、有限時間では出来ません。

数学的帰納法を使うのでしょうか、
modを使うのでしょうか、

どうやら今回はmodを使って証明するのが一般的なようです。
フェルマーの小定理やら、平方剰余の相互法則を使うようですが、証明をみても、まだまだ理解出来ていません。

一般人にも解るように証明を解説出来るようになったら、証明を載せましょうかね。


ではでは