デュードニー数の拡張

午後のひとときに、数学の疑問を考える

デュードニー数というのがありまして、
あるxの3乗した数の各桁の和がxになるものを、デュードニー数と呼ぶ。

1は何乗しても1なので、デュードニー数から除外するとして、デュードニー数はいくつあるのだろうか。

8^3=512, 5+1+2=8
17^3=4913, 4+9+1+3=17
18^3=5832, 5+8+3+2=18
26^3=17576, 1+7+5+7+6=26
27^3=19683, 1+9+6+8+3=27

の5つが、比較的容易に見つかる。
これが5個しか存在しないことの証明は、とても難しいのだろうが、確率的に低いということはなんとなくだが解る。


さて、今回はデュードニー数を拡張してみる。

m^n, m>1, n>0, m, n∈N
という条件にしてみます。

プログラムを組んで、n=100まで求めてみました。

ただ、ブログの文字数制限に引っかかるので、とりあえずn=10まで。

2^1=2
3^1=3
4^1=4
5^1=5
6^1=6
7^1=7
8^1=8
9^1=9
9^2=81
8^3=512
17^3=4913
18^3=5832
26^3=17576
27^3=19683
7^4=2401
22^4=234256
25^4=390625
28^4=614656
36^4=1679616
28^5=17210368
35^5=52521875
36^5=60466176
46^5=205962976
18^6=34012224
45^6=8303765625
54^6=24794911296
64^6=68719476736
18^7=612220032
27^7=10460353203
31^7=27512614111
34^7=52523350144
43^7=271818611107
53^7=1174711139837
58^7=2207984167552
68^7=6722988818432
46^8=20047612231936
54^8=72301961339136
63^8=248155780267521
54^9=3904305912313344
71^9=45848500718449031
81^9=150094635296999121
82^10=13744803133596058624
85^10=19687440434072265625
94^10=53861511409489970176
97^10=73742412689492826049
106^10=179084769654285362176
117^10=480682838924478847449

こんな感じです。

ここで、いくつか疑問が湧いてくる。

例えば、解が存在しないnは存在するのか。

そこで、今回導いたn=100までの解について、
Digit=[n*log10(m)+1]
と計算で桁数を求められるので、
（値を求めているので、プログラム的に桁数をカウントすることもできます。）
Ave.=m/Digit
と各桁の平均を求めてみた。
 

1<n<101の平均の最小は、
20^13=81920000000000000
Digit=17, Ave.=1.176

1<n<101の平均の最大は、
64^6=68719476736

digit=11, ave.=5.818

nを増やしていったとして、この平均のレンジの外にくるようなものが現れる確率は低くなっていく。

これはサイコロを振るのと似ている。
沢山振れば、サイコロの出目の平均は(1+6)/2=3.5に近似していく。

拡張デュードニー数は、m^nの桁数が多くなれば、各桁の平均値はより4.5付近に近似していくのだろう。

というわけで、1≦n≦100までの平均を、0.2ずつに分割して、個数を縦軸にグラフにしてみました。



フタコブになりましたが、nが増えることで、4.4≦Ave.＜4.6の辺りが増えていることが見て取れます。
2.8≦Ave.＜3.0の辺りの山は、mの末尾に0の解がその辺りになることによるもの。


さて、もう少しnを増やしていくと、n=105で解が見つかりませんでした。
予想通り、解がないnが見つかりました。



ではでは