半円に内接する直角三角形と円の問題 -解答編-

午後のひとときに、図形問題を解いていきます。



問題
図のように、ABを直径とする半円、
線分OB上の任意の点C、
直角三角形ACD、
点Pを中心とするE、F、Gで接する円、
AD=3のとき、AEの長さを求めよ。


皆さんは、どのような解放を考えましたでしょうか。

例えば、
点Cは線分OB上の任意の点であるから、点C=点Bとすると、直角三角形は直線となり、円は半径0となる。
つまり、AD=AE=3
といった考えに及ぶだろう。

安直に解を求めたいのであれば、これでも間違いではないのかもしれないのだが、もう少し別解を探っていこう。



まずは、
OA=OD=R
PE=CE=PF=r
OC=a
と置くことにする。

赤い補助線を引くと、
線分CDは、
⊿ADCと⊿ODCの共通部分であるから、
3²-(R+a)²=R²-a²
9-R²-2aR-a²=R²-a²
2R²+2aR=9 …(1)

青い補助線を引くと、
OP=OF-PF=R-r
なので、
(r+a)²+r²=(R-r)²
r²+2ar+a²+r²=R²-2rR++r²
R²-r²-a²-2rR-2ar=0 …(2)

(1)-(2)
(2R²+2aR)-(R²-r²-a²-2rR-2ar)=9-0
R²+r²+a²+2aR+2rR+2ar=9
(R+r+a)²=9
AE=R+r+a>0なので、
AE=3

他にも、方ベキの定理を使うものなど、いろいろと考えられますが、これが一番簡単かなと思われる。

別解を探してみるのも良いでしょう。

例えば、



こんな補助線を引いてみると、方ベキの定理で、
AD²=AG×AF=AE²
と求められるのですが、
赤い補助線より、点Gが線分AF上にあることは証明出来るのですが、
青い補助線の、点Dに接し、点Fを通る円が点Gを通ることを証明出来れば良いのですが、自分は簡単な方法が思いつかなかったです。


ではでは