2つの半円の問題

午後のひとときに、図形問題を解いてみよう。



問題
図のように、AB、CDを直径とする半円、
AE=3、EF=7、FB=2のとき、
CD=xの長さを求めよ。


シンキングタ～イム


大抵の図形問題は、的確な補助線が引けるかに掛かっていると言っても過言ではない。

この問題は、4本ほど補助線を引くことになる。



半円の中心をそれぞれO、Pとする。
Pから線分ABに垂線の足を下ろした点をQとし、
PQ=a、PO=b、PE=c、OD=dとすると、
点Qは、PE=PFより、線分EFの中点である。
同様に、点Pは、OC=ODより、点Oから線分CDに垂線の足を下ろした点ということでもある。
よって、QO=1/2、QE=7/2となる。
これらより、ピタゴラスの定理を使い、
a²+(1/2)²=b²
a²+(7/2)²=c²
b²+c²=d²
という式が得られ、これらの式に、c=x/2、d=6を代入すると、
a²+(1/2)²=b² …(1)
a²+(7/2)²=(x/2)² …(2)
b²+(x/2)²=6² …(3)
のようになり、(1)、(3)より、
a²+(1/2)²+(x/2)²=6² …(4)

(2)+(4)より、
2a²+(7/2)²+(1/2)²=6²
2a²=6²-(7/2)²-(1/2)²
2a²=36-49/4-1/4
a²=18-25/4
これを(4)式に代入すると、
18-25/4+(1/2)²+(x/2)²=6²
(x/2)²=18+25/4-1/4
x²=72+24-1=96
x=4√6

いかがでしょうか。

自分が図形問題の補助線を引く感覚として、
1) 同じ長さを見つけたら、対称性を考えたり、同じ長さ同士を張り合わせたりしてみる。
2) 数学的に計算しやすい角度、30度、45度、60度、90度などを作ってみる。
3) ピタゴラスの定理など、幾何的、代数的、解析的などの手法を用いて値を求める。
ということを考えている。

天才的な閃きはあるのかもしれないが、その閃きを思いつく鍵は経験だと考える。
つまり、様々な問題を解き、自ら類似問題を作成してみる。
こういったことの繰り返しが、閃きにつながるのだと思う。


ではでは