午後のひとときに、ちょっとした疑問を考えてみる。
問題
自然数nの0を含む自然数m乗で、すべての桁に0を含まない最大のmを求めよ。
といった問題があったとして、最大のmは求められるのだろうか。
私の考えでは求められるものと、求められないものがある。
自然数nの末尾が0のものは、m=0が最大である。
つまり、何乗しようが必ず0が含まれてしまうことが確定しているからです。
では、それ以外はどうなのだろうか。
まず、2のm乗をプログラムでmを0から100000まで調べた所、2のm乗の各桁に0が含まれない最大のmは86でした。
想像しているより随分と小さいと感じました。
では、nを1から100まで、mを0から1000までの範囲で調べてみることにします。
1^0=1
2^86=77371252455336267181195264
3^68=278128389443693511257285776231761
4^43=77371252455336267181195264
5^58=34694469519536141888238489627838134765625
6^44=17324272922341479351919144385642496
7^35=378818692265664781682717625943
8^27=2417851639229258349412352
9^34=278128389443693511257285776231761
10^0=1
11^41=4978518112499354698647829163838661251242411
12^26=11447545997288281555215581184
13^14=3937376385699289
14^34=929722225368296217729286886758826377216
15^27=56815128661595284938812255859375
16^19=75557863725914323419136
17^27=1667711322168688287513535727415473
18^17=2185911559738696531968
19^44=184144368549628275143663229532787625188711914273876985521
20^0=1
21^13=154472377739119461
22^22=341427877364219557396646723584
23^10=41426511213649
24^13=876488338465357824
25^29=34694469519536141888238489627838134765625
26^15=1677259342285725925376
27^9=7625597484987
28^16=142734349946674946768896
29^14=297558232675799463481
30^0=1
31^16=727423121747185263828481
32^7=34359738368
33^23=84298649517881922539738734663399137
34^5=45435424
35^17=177482997121587371826171875
36^22=17324272922341479351919144385642496
37^16=12337511914217166362274241
38^10=6278211847988224
39^19=1699133621328831977374894383159
40^0=1
41^9=327381934393961
42^13=1265437718438866624512
43^10=21611482313284249
44^6=7256313856
45^39=29873632717245815267654448326919473927773651666939258575439453125
46^7=435817657216
47^8=23811286661761
48^19=87817993537467267453437463232512
49^5=282475249
50^0=1
51^19=277864679818687128933845596553451
52^18=7727876721872448746791521746944
53^7=1174711139837
54^13=33198531813531453579264
55^11=13931233916552734375
56^23=16155656889615734329398214425629966729216
57^7=1954897493193
58^23=36211277946678491129762594928113653645312
59^14=6193386212891813387462761
60^0=1
61^16=36751693856637464631913392961
62^5=916132832
63^14=15515568475732467854453889
64^12=4722366482869645213696
65^3=274625
66^14=29758778274345789399515136
67^14=36732225162896895721934329
68^14=45198578652761699462938624
69^12=11646329922777311412561
70^0=1
71^8=645753531245761
72^22=72663267215268556211671874973277863542784
73^6=151334226289
74^4=29986576
75^19=422828258524532429873943328857421875
76^11=488595558857835544576
77^12=43439888521963583647921
78^10=8335775831236199424
79^9=119851595982618319
80^0=1
81^17=278128389443693511257285776231761
82^13=7578444614164591651397632
83^4=47458321
84^18=43353797936295338532183652115152896
85^11=1673432436896142578125
86^12=163674647745587512938496
87^10=24842341419143568849
88^5=5277319168
89^23=685441117453157943684715454813971461595561769
90^0=1
91^19=16664276159359979836134597478321347811
92^10=43438845422363213824
93^5=6956883693
94^15=395291798759681826446224359424
95^3=857375
96^8=7213895789838336
97^8=7837433594376961
98^19=68123262423989233971191949923948429312
99^19=82616862383558673827191783893367291899
100^0=1
nに対するn^mの桁数をグラフにすると、
1≦n≦100、0≦m≦1000
において、
最大のmは、
2^86=77371252455336267181195264
最大のn^mは、
45^39=29873632717245815267654448326919473927773651666939258575439453125
さて、このデータが役に立つようなことが来るのだろうか。
mを1000と言わず、もっと大きなところで、0を含まないものが登場しないということを証明するのはとても難しいだろうから、あくまでも候補というところだろうか。
マーティン・ガードナーの粘度の問題は、各桁の積を求める操作を続けるということで、0が出てくるとそこで終了するので、こういったデータが役に立つのかもしれないんだろうけど、どうなんだろうか。
ではでは
↧
自然数nのm乗のすべての桁に0を含まない最大のmは？
↧