ヨビノリでも上がったコラッツ予想。
自分も随分と前に研究しました。
当然ですが、証明は出来ていませんが、自分なりのアプローチは出来たかなと思っています。
コラッツ予想とは、
正の整数において、
偶数なら半分にする。
奇数なら3倍して1を加える。
という操作を繰り返すと、
いかなる正の整数であっても、
必ず1に帰着するという予想です。
私が最初にやったのは、すこし定義を変更しました。
「偶数なら半分にする。」ではなく、
「偶数なら奇数になるまで半分にする操作を繰り返す。」
という変更です。
この変更をしたところで、コラッツ予想自体の本質が変化するわけではありません。
ではなぜ、この様に再定義したのかというと、
偶数と奇数が交互に現れるようにしたかったからです。
偶数は、奇数になるまで半分にする操作を繰り返す。なので、偶数の次は奇数。
奇数は、3倍して1を加える。は、奇数×奇数＝奇数であるから、奇数×奇数＋1は偶数となり、奇数の次は偶数。
これで、偶数と奇数が交互に現れることが理解出来たかと思います。
続いて、奇数の変化は常に一定ですが、偶数が奇数になるとき、どれくらいの変化をするのかを考える。
自然数全体と、奇数、偶数を、いずれも無限に存在するが、確率を求めたいので、無限に存在するものの比は矛盾するのだが、比を考える。
自然数全体を1とすると、奇数、偶数はそれぞれ半分ずつの1/2とここでは考えることとする。
ここで、偶数について、もう少し深く掘り下げる。
偶数xを1/2したら奇数になる分布は、偶数全体の1/2
偶数xを1/4したら奇数になる分布は、偶数全体の1/4
偶数xを1/8したら奇数になる分布は、偶数全体の1/8
︙
偶数xを1/2nしたら奇数になる分布は、偶数全体の1/2n
これらから、偶数全体を計算すると、
Σ
n=1
となります。
つまり、
偶数xが次の奇数へと移り変わるとき、平均するとx/3となり、
奇数xが次の偶数へと移り変わるとき、3x+1となる。
これは、ほぼ逆数の関係にあるという、絶妙な関係であることが解ります。
偶数と奇数は交互に現れるように再定義しましたので、
+1と微小ですが、増加していく確率が幾分か高いと言えます。
それでも、必ず1に帰着するということは、奇数から偶数への変化で増加したとしても、m×2nのスパイラルに嵌り、急降下させられて、結局1に帰着してしまうということなのだろう。
もし、コラッツ予想が、奇数なら3倍して1引くと定義されていたとすると、
5→14→7→20→5
17→50→25→74→37→110→55→164→41→122→61→182→91→272→17
と、1に戻らないループがあっけなく見つかってしまうのです。
それくらい絶妙な設定だと言えます。
では、コラッツの予想が外れているとしたら、どのようなケースが考えられるのだろうか。
- すべての正の整数において、必ず自分自身よりも大きな値になる。
- 1→4→2→1以外のループが存在する。
この2つのどちらかを証明すれば良い。
では、コラッツ予想が当たっている場合の証明はどうすればいいのか。
- 1より大きなすべての正の整数において、必ず自分自身よりも小さな値になる。
- 1→4→2→1以外のループが存在しない。
この2つのどちらかを証明すれば良い。
さて、小学生でも取り組めるとすると、b.の1→4→2→1以外のループを見付けてしまえば、コラッツ予想が正しくないということが証明されます。
もう一つのa.はハードルが高いだろう。
動画内でも言われている通り、コンピュータによってかなり大きな値まで予想の正しさを示しています。
B.の証明は、存在しないことの証明、つまり消極的事実の証明や悪魔の証明とも言われるようなもので、非常に困難なことなのです。
A.の証明も、正の整数全体を扱うので、数学的帰納法のようなものが出来ないかぎり、こちらも困難なことなのです。
皆さんは、予想が正しいと思いますか？
それとも外れていると思いますか？
ではでは