午後のひとときに、パズル的要素の強い問題を解いてみよう。
問題
4×4のマスに、左上から右へ、上から下へ、順番に1から16の数字が振られた紙があります。
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 5 | 6 | 7 | 8 |
| 9 | 10 | 11 | 12 |
| 13 | 14 | 15 | 16 |
これらの数字を辺で繋げて、2つのグループに分けたとき、2つのグループ内の総和が等しくなるように分けます。
すべてのパターンを列挙せよ。
シンキングタ～イム
解法
論理的に導くためには、どのように考えたら良いのだろうか。
ある1つの数を含むグループと含まないグループという分け方をする。
ここでは、4×4＝16なので、最大値の16を含むグループと含まないグループで分けて考える。
16から大きい順に含ませていくと、13+14+15+16=58で、
すべての総和の1+...+16=(1+16)×16÷2=136の半分の68にはあと10で達するので、
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 5 | 6 | 7 | 8 |
| 9 | 10 | 11 | 12 |
| 13 | 14 | 15 | 16 |
のようになる。
最下段が4個並びはこれだけなので、次は3個並びを考える。
16+15+14=45、68-45=23
仮に10を含めたとすると、
10+6+7=23
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 5 | 6 | 7 | 8 |
| 9 | 10 | 11 | 12 |
| 13 | 14 | 15 | 16 |
また、10+6+5+2=23
も出来るように見えるが、
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 5 | 6 | 7 | 8 |
| 9 | 10 | 11 | 12 |
| 13 | 14 | 15 | 16 |
のようになり、
{ 1 }、{ 9, 13 }、{ 3, 4, 7, 8, 11, 12 }のようにグループが分かれてしまうので、不適。
仮に10を含めなかったすると、
11+12=23
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 5 | 6 | 7 | 8 |
| 9 | 10 | 11 | 12 |
| 13 | 14 | 15 | 16 |
11+7+5、12+8+3、これらは辺で接しないので、不適。
これで、最下段が3個並びは終わり、次は2個並びを考える。
15+16+11+10=52
68-52=16
16=12+4は不適
16=9+7は不適
16=6+10は不適
16=6+7+3は不適
16=7+9は不適
よって、
15+16+11+10は不適
15+16+11+12=54
68-54=14
14=10+4は不適
14=7+7は不適
14=8+6は不適
よって、
15+16+11+12は不適
15+16+11+7=49
68-49=19
19=8+は不適
19=3+は不適
19=6+は不適
よって、
15+16+11+7は不適
15+16+12+8+7+6=64
68-64=4
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 5 | 6 | 7 | 8 |
| 9 | 10 | 11 | 12 |
| 13 | 14 | 15 | 16 |
15+16+12+8+7=58
68-58=10
10=4+3+2+1
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 5 | 6 | 7 | 8 |
| 9 | 10 | 11 | 12 |
| 13 | 14 | 15 | 16 |
15+16+12+8+4+3+2=60
68-60=8
8=1+7は既に回答済み
8=6+2は不適
これで、最下段が2個並びは終わり、最下段が16だけを考えます。
16+12+11+10=49
68-49=19
19=7+8+4
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 5 | 6 | 7 | 8 |
| 9 | 10 | 11 | 12 |
| 13 | 14 | 15 | 16 |
19=6+5+は不適
16+12+11+8+7+6=60
68-60=8
8=4+4は不適
8=3+は不適
8=5+は不適
16+12+11+8+7+6は不適
16+12+8+7+6=49
68-49=19
19=4+3+2+10
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 5 | 6 | 7 | 8 |
| 9 | 10 | 11 | 12 |
| 13 | 14 | 15 | 16 |
のようになる。
よって、
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 5 | 6 | 7 | 8 |
| 9 | 10 | 11 | 12 |
| 13 | 14 | 15 | 16 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 5 | 6 | 7 | 8 |
| 9 | 10 | 11 | 12 |
| 13 | 14 | 15 | 16 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 5 | 6 | 7 | 8 |
| 9 | 10 | 11 | 12 |
| 13 | 14 | 15 | 16 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 5 | 6 | 7 | 8 |
| 9 | 10 | 11 | 12 |
| 13 | 14 | 15 | 16 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 5 | 6 | 7 | 8 |
| 9 | 10 | 11 | 12 |
| 13 | 14 | 15 | 16 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 5 | 6 | 7 | 8 |
| 9 | 10 | 11 | 12 |
| 13 | 14 | 15 | 16 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 5 | 6 | 7 | 8 |
| 9 | 10 | 11 | 12 |
| 13 | 14 | 15 | 16 |
の7通りとなる。
さて、4×4は、どうにか手計算で出来ました。
6×6、8×8、10×10、などを手計算でやるのは、かなり膨大な量になるので、
Excelを使うなりして、多少は楽をしないと大変だろう。
ではでは