x²+y²=61ⁿを満たすx,yを求めよ

午後のひとときに数学の問題を解いてみる。

数学問題
以下の問題の自然数x、yをすべて求めよ。
但し、x<yとする。
(1) x²+y²=61
(2) x²+y²=61²
(3) x²+y²=61³
(4) x²+y²=61⁴
(5) x²+y²=61⁵

プログラミング問題
数学問題を踏まえて、
x²+y²=61ⁿ
0<n<11
を効率よくx, yをみつけるプログラムを作れ。


シンキングタ～イム


(1)
まず、右辺に着目すると、下一桁が1である。
2乗したものを足したら下一桁が1になるには、
つまり、mod 10を考えると、
0²≡0 (mod 10)
1²≡1 (mod 10)
2²≡4 (mod 10)
3²≡9 (mod 10)
4²≡6 (mod 10)
5²≡5 (mod 10)
6²≡6 (mod 10)
7²≡9 (mod 10)
8²≡4 (mod 10)
9²≡1 (mod 10)
ですので、これらから2つを足して1になるには、
0と1、0と9、4と5、5と6の組み合わせしか無い。
また、61は平方数でなく、10²=100なので、0を使った組み合わせは存在しない。
4²+5²=41
5²+6²=61
というわけで、
答え x=5、y=6

(2)
(1)を踏まえて、ピタゴラス数の一般式、
m>n, m, n∈N
x=m²-n²
y=2mn
z=m²+n²
を使い、
z=61とすると、m=6、n=5なので、
x=11、y=60、z=61となる。
答え x=11、y=60

(3)
(1)と(2)を踏まえると、
(5²+6²)(11²+60²)=61³
ですので、
(5²+6²)61²=61³
305²+366²=61³
となる。
但し、これだけが唯一の解かどうかが解らない。
そこで、mod 100を考えると、
61³≡81 (mod 100)
になるには、
25+56≡81 (mod 100)
の組み合わせしかない。
25は10通り、56は4通りなので、56を基準に考えてみる。
61^3/2<477なので、
16、34、66、92、
116、134、166、192、
216、234、266、292、
316、334、366、392
416、434、466
を調べる。
答え　(x,y)={ (234, 415), (305, 366) }

(4)
これまでを踏まえると、
(11²+60²)(11²+60²)=61⁴
671²+3660²=61⁴
が容易にみつかるが、これだけとは限らない。
(3)で解が2個見つかっていることから、最低でも2個はみつかると考える。

(4)以降は面倒なので、もう少し数学的な考証をしたのち、プログラムを書いてみる。

61ⁿのmod 100を考えてみる。
61¹≡61 (mod 100)
61²≡21 (mod 100)
61³≡81 (mod 100)
61⁴≡41 (mod 100)
61⁵≡1 (mod 100)
の5パターンしか存在しません。

そこで、2乗した値のmod 10は、
0²≡0 (mod 10)と、11², 21², 31², 41², 51², 61², 71², 81², 91² (mod 100)
5²≡25 (mod 10)と、6², 16², 26², 36², 46², 56², 66², 76², 86², 96² (mod 100)
の組み合わせしか存在しない。

左側を採用しても、右側を採用しても、増加量は5なので、どちらを採用したとしても、差異はないだろう。

よって、プログラミングするならば、片方を5の倍数で探すのが、おそらく簡単で効率が良いと考えられる。
 

出力結果は、

実は、もう少しだけ効率のよいプログラムが書けます。
どこをどうすれば良いでしょうか。


ではでは