ちょっと思いつきで、頭の中でモヤモヤしていたものを、現実的に可能なのかをやってみた。
正多面体というものがあるけど、たった5種類しか存在しません。
みなさん、全部答えられますか？
答えは、面数が少ない順に並べると、
正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
オイラーという数学者は、多面体について、このような定理を導きました。
オイラーの多面体定理
面の数をf、辺の数をe、頂点の数をvとすると、
v-e+f=2
が成り立つ。
この定理は多面体であれば成り立つものなので、正多面体だけで成り立つわけではありません。
今回は正多面体しか扱わないので、表にまとめる。
| 正多面体 | 頂点 | 辺 | 面 | 面を構成する図形 |
|---|---|---|---|---|
| 正四面体 | 4 | 6 | 4 | 正三角形 |
| 正六面体 | 8 | 12 | 6 | 正方形 |
| 正八面体 | 6 | 12 | 8 | 正三角形 |
| 正十二面体 | 20 | 30 | 12 | 正五角形 |
| 正二十面体 | 12 | 30 | 20 | 正三角形 |
となっています。
さて、私の頭の中でモヤモヤしていたものを言葉にすると、
正二十面体の中に、正十二面体があって、
正十二面体の中に、正八面体があって、
正八面体の中に、正六面体があって、
正六面体の中に、正四面体がある。
という漠然としたイメージです。
いっぺんに片付けるのは難しいので、
1つずつクリアしていくことにします。
クリアしていった順番はこの通りではありません。
正十二面体の頂点は20あり、正二十面体で12に該当するのは面である。
ならば、正二十面体の各面の重心を頂点として結べば、正十二面体が作図出来るのではなかろうか。
重心にした理由は、頂点の座標の相加平均で、重心の座標が求まるからです。
正八面体の頂点は6あり、正十二面体で6に該当するものは存在しない。
面の12、辺の30は6の倍数である。
面の12を立体的に均等に1/2等分することは出来ないので、辺の30を1/5等分することを考えます。
正十二面体のある1辺から、3辺隣の辺という形で抽出すると、もともとは30辺あるが、1/5になり、6辺が均等に抽出出来る。
正十二面体から抽出した6辺の中点を頂点として結べば、正八面体が作図出来るのではなかろうか。
正六面体の頂点は8あり、正八面体で8に該当するのは面である。
というわけで、正八面体の各面の重心を頂点として結べば、正六面体が作図できるのではなかろうか。
正四面体の頂点は4あり、正六面体で4に該当するものは存在しない。
辺の12、頂点の8は4の倍数である。
辺の1/3等分は出来なくはないのだが、頂点の8の1/2等分を考えます。
正六面体のある頂点から、隣り合わない頂点を抽出すると、もともとは8頂点あるが、1/2いなり、、6頂点が均等に抽出出来る。
正六面体から抽出した4頂点を結べば、正四面体が作図出来るのではなかろうか。
というわけで、正二十面体の座標だけの状態から、作図を続けて出来たのがコレです。
Image may be NSFW.
Clik here to view.
これがモヤモヤの正体です。
こりゃモヤモヤするわなｗｗｗ
アニメーションにすれば、すごい綺麗だとは思うんだけど、そのへんは考え中。
他にも、いくつか出来ていて、
正十二面体から内包する正二十面体
正六面体から内包する正八面体
正四面体から内包する正四面体
完全な逆走は出来そうもないので、先の順番でいいかな。
アニメの逆再生は有りかもしれませないけどね。
GeoGebraでアニメーションを作るか、
それとも、HTML5でWebGLでアニメーションを作るか、
どっちが楽なんだろうか。
ではでは