どうやって求めるのがよいのか -解答編-

昨日出題した問題。
まだ解答を見たくない方は、閉じましょう。



問題
長方形ABCDが存在し、内部に点Eを持つ。
AE=87、BE=105、CE=116、DE=100、
長方形の各辺x、yが自然数のとき、
x、yの長さを求めよ。

それでは解答編。

解法1
AからEをみて、右方向にm、下方向にn進んだところにEがあるとすると、
m²+n²=87²　…(1)
(x-m)²+n²=100²　…(2)
m²+(y-n)²=105²　…(3)
(x-m)²+(y-n)²=116²　…(4)
という4式を作れる。
(1)式と(2)式に着目すると、n²という共通項があるので、n²を消すように、
(2)-(1)=(x-m)²-m²=100²-87²
因数分解すると、
((x-m)+m)((x-m)-m)=(100+87)(100-87)
x(x-2m)=187・13
x(x-2m)=11・13・17
これより、
x>0、m>0なので、x>x-2mとなり、
(x, m)={(11・13, (11・13-17)/2), (11・17, (11・17-13)/2), (13・17, (13・17-11)/2) }
={(143, 63), (187, 87), (221, 105)}
という組み合わせに絞られる。
m、nは共に斜辺87よりも短くなるので、
n²=87²-63²=60²
m=63、n=60が確定する。
(3)式に代入すると、
63²+(y-60)²=105²
(y-60)²=105²-63²
y²-120y+3600=7056
y²-120y-3456=0
解の公式より、
y=144, -48
y>0なので、
y=144
答え、x=143, y=144
これが模範解答でしょう。

解法2
87と100は互いに素、105と116は互いに素、
87と105はどちらも3の倍数、100と116はどちらも4の倍数。
後者より、yは3の倍数であり、4の倍数、つまり12の倍数である必要がある。
yの取り得るレンジは、
105-87<y<105+87
18<y<192
で、12の倍数だけを調べる。
⊿ABEの∠Aをα、∠Bをβとして、余弦定理を使う。
y=24のとき、cos(α)=(24²+87²-105²)/(2・24・87)、α>90˚となり不適
y=36のとき、cos(α)=(36²+87²-105²)/(2・36・87)、α>90˚となり不適
y=48のとき、cos(α)=(48²+87²-105²)/(2・48・87)、α>90˚となり不適
y=60のとき、cos(α)=(60²+87²-105²)/(2・60・87)、xが自然数にならず不適
y=72, 84, 96, ..., 132は同様にxが自然数にならず不適
y=144のとき、x=143
y=156, 168, 180は同様にxが自然数にならず不適

これはプログラミングならば有りなのかもしれないが、机上ではエレファントです。
でも、出だしの考え方はもしかしたら有効なのかもしれません。


解法3
x=lcm(100-87, 116-105)=lcm(13, 11)=143
y=lcm(105-87, 116-100)=lcm(18, 16)=144

問題は、これです。
答えは合ってます。
しかし、縦軸、横軸同士の差の最小公倍数を求めると解が出るというのは、
偶然なのか、必然なのか、まだ検討中です。
値の異なる同様の問題が作れたら、試したいものでもあります。


解法4
右上の100に着目すると、3：4：5のピタゴラス三角形を容易に想像出来る。
それぞれ20倍すると、60：80：100で、そこからドミノ倒しのように値を当てはめていくと、
右上、右下は3：4：5、左上、左下は20：21：29、が見い出せ、
x=143、y=144
と求まる。
これは、経験と勘に基づく方法でしょうか。


さて、皆さんはどのように解かれましたでしょうか。
もっといろいろな解法があるかもしれません。


ではでは