午後のひとときに、算数の問題をやってみる。
例
60+1+2+3+4+5+7+8+9=99
問題1
例の左辺のように、0から9を1回ずつ全部使った足し算のみ式で、
100を作れ
問題2
例の左辺のように、0から9を1回ずつ全部使った足し算のみ式で、
999を作れ
シンキングターイム
問題1の解答
まず、
0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
ここから解ることは、
最低でも1つ以上は10以上100未満の項を作る必要がある。
ということ。
例の、
60+1+2+3+4+5+7+8+9=99
を
(a*10+b)+c+d+e+f+g+h+i+j=100
のように文字式にしたとすると、
括弧を外して、
a*10+b+c+d+e+f+g+h+i+j=100
となり、b～jは可換であることが解る。
これを踏まえて、
一の位の和と、十の位の和に着目する。
100を作るためには、
一の位の和の一の位は0でなければならないので、
ゆるく可能性を考えて、一の位の和は、
0、10、20、30、40
という可能性が考えられ、十の位の和は、
45、35、25、15、5
ということになる。
ここで、十の位の和は10倍するので、
十の位の和は、1桁である必要が出てくる。
つまり、5のみしか可能性がない。
[十の位の和]×10＋[一の位の和]＝100
5*10+40=90
となり、解がないことが証明出来る。
言葉では解りにくいので、文字式にして場合分けしてみます。
sum=a+b+c+d+e+f+g+h+i+j=45
これはいいですね。
sum=a*10+b+c+d+e+f+g+h+i+j
b+c+d+...+jが10の倍数であるためには、
a=5でなければならない。
a=5であるならば、b+c+d+...+j=40なので、
sum=a*10+b+c+d+e+f+g+h+i+j
=5*10+40=90
sumが100にはならない。
sum=a*10+b*10+c+d+e+f+g+h+i+j
=(a+b)*10+c+d+e+f+g+h+i+j
c+d+...+jが10の倍数であるためには、
a+b=5でなければならない。
a+b=5であるならば、c+d+e+...+j=40なので、
sum=a*10+b*10+c+d+e+f+g+h+i+j
(a+b)*10+c+d+e+f+g+h+i+j
sum=5*10+40=90
sumが100にはならない。
sum=a*10+b*10+c*10+d+e+f+g+h+i+j
=(a+b+c)*10+d+e+f+g+h+i+j
d+...+jが10の倍数であるためには、
a+b+c=5でなければならない。
しかし、このようなa,b,cの組み合わせは存在しない。
答え 100を作ることが出来ない
問題2
右辺が999になったが考え方は同じ。
一の位の和は、9、19、29、39の可能性があり、
一の位の和が9のとき、
45-9=36で、
十の位の和は、9、19、29の可能性があり、
36-9=27で不適、
36-19=17で不適、
36-29=7は、十の位の和を29、百の位の和を7とする。
一の位の和が19のとき、
45-19=26で、
十の位の和は、8、18の可能性があり、
26-8=18で不適、
26-18=8は、十の位の和を18、百の位の和を8とする。
一の位の和が29のとき、
45-29=16で、
十の位の和は、7のみ。
16-7=9は、十の位の和を7、百の位の和を9とする。
一の位の和が39のとき、
十の位の和の可能性は、45-39=6で不適。
よって、パターン分類すると、
1) 一の位の和=9、十の位の和=29、百の位の和=7の場合
2) 一の位の和=19、十の位の和=18、百の位の和=8の場合
3) 一の位の和=29、十の位の和=7、百の位の和=9の場合
となるような組み合わせで可能性がある。
ここで、10未満の項、10以上100未満の項、100以上の項を、何個ずつ作るのかを考える。
1)のサンプルの作り方
例えば、一の位を0+1+2+6、十の位を5+7+8+9、百の位を3+4で、
350+471+82+96=999など
2)のサンプルの作り方
例えば、一の位を1+3+7+8、十の位を0+4+5+9、百の位を2+6で、
201+643+57+98=999など
3)のサンプルの作り方
例えば、一の位を0+1+2+3+4+5+6+8、十の位を7、百の位を9で、
970+1+2+3+4+5+6+8=999など
というように、999を作れる。
ではでは