こんな数式を提示されました。
積分だぁ～
このブログで数学を扱うことは多いのだが、微分積分をやることは殆どなかった。
また、左辺の分母のxの指数を自然数として変化させると、右辺の分母分子の係数だけが変化するという不思議な感じ。
しかも、分母にはネイピア数のe、分子には円周率のπが出てくる。
こういうのを提示されてしまうと、自分の血が疼くのです。
もっと先を見てみたい。
さて、この形の積分が出来ればいいのですが、私は積分は大学受験までしかやってきておらず、現在の私の知識では積分出来ません。
というわけで、ネットの出番です。
とりあえず、値を入れるとしても、このままの形で入れてもいいのですが、もうちょっと簡略化します。
integral x^(2-3x)(1-x)^(3x-3)sin(3πx) dx from 0 to 1
この式をWolfram（ウルフラム）に打ち込む。
※本当は、(e^3/pi)を掛けたかったのですが、それだと計算してくれなかったのですが却下。
桁数を出来るだけ増やして、
0.15641068822825414085375657160401651916748804150270
29474046534863875238181396329563566472496764993348
25026355498585823399601583388268785915569484460618
25977574063723137404794538089881205694270721632011
90593574448053321238204965028569525669916344415775
38646805365281699979036197299542249893423643330801
と小数点以下300桁の値を出してきた。
この値をプレーンテキストにしてコピペして、メモ帳に貼り付け。
Wolframは多倍長演算は得意ではなさそうなので、ここからは多倍長電卓LMで計算させる。
先の値の後に
*exp(3)/pi
と付加して、計算させると、
+ .99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
と見事に循環小数となった。
これは、1=1/1だと考える。
同様に、赤文字の部分を3にすると、（今回はこれで完結のようです）
0.234616
*exp(3)/pi を付加して、LMで計算させると、
+1.49999979322141231114227962776661319674678847955526
これは1.5=3/2だと考える。
同様に、赤文字の部分を4にすると、
0.25416736837091297888735442885652684364716806744189
22895325619153797262044769035540795517807243114190
90667827685201963024352573005936777112800412248504
67213557853550098282791124396056959253189922652019
34714558478086647012083068171425479213614059675635
00301058718582762465933820611756156076813420412552
*exp(3)/pi を付加して、LMで計算させると、
+1.62500000000000000000000000000000000000000000000000
これは1.625=13/8だと考える。
こんな感じで、右辺の分数を解析していくと、
赤文字をn、右辺πとeを除く、分子をp、分母のq、とすると、
| n | p | q |
| 2 | 1 | 1 |
| 3 | 3 | 2 |
| 4 | 13 | 8 |
| 5 | 25 | 16 |
| 6 | 911 | 640 |
| 7 | 1617 | 1280 |
| 8 | 119057 | 107520 |
| 9 | 69219 | 71680 |
| 10 | 2067713 | 2457600 |
| 11 | 25257661 | 34406400 |
| 12 | 324129551 | 504627200 |
| 13 | 341545789 | 605552640 |
| 14 | 16440766717181 | 33063174144000 |
| 15 | 388132573681 | 881684643840 |
| 16 | 11501970819139 | 29389488128000 |
| 17 | 184824228228587 | 529010786304000 |
n=18から連文節が抜き出せなくなりましたので、ここらが限界かな。
もしかすると、もっと前に限界に達していて、いい加減な既約分数を表示している可能性もあります。
分数p/qは、既約分数になっているので、分母分子に同じ値を掛けるということで、もしかしたらpやqに何らかの規則性が見いだせるかもしれません。
例えば、qに着目すると、
n=2のとき、q=1、n=3のとき、q=2
n=4のとき、q=8、n=5のとき、q=16
n=6のとき、q=640、n=7のとき、q=1280
と、
nが偶数のときと次の奇数のときのqの関係が見えてきますね。
n=2mのとき、q=Q、n=2m+1のとき、q=2Q
のような関係になっていますね。
| n | p | q |
| 2 | 1 | 1 |
| 3 | 3 | 2 |
| 4 | 13 | 8 |
| 5 | 25 | 16 |
| 6 | 911 | 640 |
| 7 | 1617 | 1280 |
| 8 | 119057 | 107520 |
| 9 | 207657 | 215040 |
| 10 | 14473991 | 17203200 |
| 11 | 25257661 | 34406400 |
| 12 | 1944777306 | 3027763200 |
| 13 | 3415457890 | 6055526400 |
| 14 | 16440766717181 | 33063174144000 |
| 15 | 29109943026075 | 66126348288000 |
| 16 | 103517737372251 | 264505393152000 |
| 17 | 184824228228587 | 529010786304000 |
一旦、qの変化に伴い、pも変化させてみた。
n=6以降、qの素因数に5が出てきて、qの末尾が0になっている。
n=8のとき、qの素因数に3と7が出てきている。
n=12のとき、qの素因数に11が出てきている。
もしや階乗か？
例えば、この表だけに限れば、
(n+13)!≡0 (mod q)
(2n-4)!≡0 (mod q)
とかが成り立っている。
後者は案外良い線を行っているかもしれない。
| n | p | q=(2n-4)! |
| 2 | 1 | 0! |
| 3 | 3 | 2! |
| 4 | 39 | 4! |
| 5 | 1125 | 6! |
| 6 | 57393 | 8! |
| 7 | 4584195 | 10! |
| 8 | 530398935 | 12! |
| 9 | 84185186085 | 14! |
| 10 | 17603484964065 | 16! |
| 11 | 4699968164486595 | 18! |
| 12 | 1562689120874365575 | 20! |
| 13 | 633962582353496521125 | 22! |
| 14 | 308519907632495372309265 | 24! |
| 15 | 177535759349173978149271875 | 26! |
| 16 | 119322147685808384453097336375 | 28! |
| 17 | 92673261811416301209739813393125 | 30! |
pの変化が均等になったような気がします。
pの一般式を求めるのは難しいんでしょうね。
そもそもが、正しいのかも怪しいんですけどね。
ではでは