三角関数の積の不思議

最近、FBの数学のコミュで、三角関数がたくさん出てくる式をよく見かけるようになった。

問題

の厳密解を求めよ。

sin(θ)=sin(π-θ)
より、
分子のsinの中の分子のπの係数が奇数のものを偶数にすると

と変形出来る。
分母のsinの中の分子がすべて偶数になったので、
sin(2θ)=2sin(θ)cos(θ)
と変形でき、
 

と、分数も消え、三角関数の数が半減しました。

ここまでは、結構容易に求まったのですが、これが答えではなくて、ここから厳密解を求めなければならない。

オイラーの公式
e^iθ=cos(θ)+i･sin(θ)
から、ド・モアブルの定理
(cos(θ)+isin(θ))ⁿ=cos(nθ)+i･sin(nθ)
を導出するか、ド・モアブルの定理を知っているものとして使う。

z=cos(2π/13)+isin(2π/13)
とおくと、
z¹³=cos(2π)+isin(2π)=1
と表すことが出来る。

cos(2π/13)=z+1/z
cos(5π/13)=-cos(8π/13)=-cos(4･2π/13)=-(z⁴+1/z⁴)
cos(6π/13)=cos(3･2π/13)=z³+1/z³

なので、

与式=-8cos(6π/13)cos(8π/13)cos(2π/13)
=-8(z⁴+1/z⁴)(z³+1/z³)(z+1/z)
=-8(z⁷+z+1/z+1/z⁷)(z+1/z)
=-8(z⁸+z²+1+1/z⁶+z⁶+1+1/z²+1/z⁸)
=-8(z⁸+z⁶+z²+2+1/z²+1/z⁶+1/z⁸)

z¹³=1より、
1/z²=z¹¹
1/z⁶=z⁷
1/z⁸=z⁵

となり、

与式=-8(z¹¹+z⁸+z⁷+z⁶+z⁵+z²+2) …(1)

また、分母のsinの中の分子のπの係数を奇数から偶数に変換した
 

と逆数を作る。
 

cos(π/13)=cos(12π/13)=cos(6･2π/13)=z⁶+1/z⁶
cos(4π/13)=cos(2･2π/13)=z²+1/z²
cos(3π/13)=cos(10π/13)=cos(5･2π/13)=z⁵+1/z⁵

なので、

与式=1/(8(z⁶+1/z⁶)(z²+1/z²)(z⁵+1/z⁵))
=1/(8(z⁸+z⁴+1/z⁴+1/z⁸)(z⁵+1/z⁵))
=1/(8(z¹³+z⁹+z+1/z³+z³+1/z+1/z⁹+1/z¹³))

z¹³=1より、
1/z³=z¹⁰
1/z=z¹²
1/z⁹=z⁴
1/z¹³=1

となり、

与式=1/(8(z¹²+z¹⁰+z⁹+z⁴+z³+z+2)) …(2)

(1)式を8で割った値を
u=-(z¹¹+z⁸+z⁷+z⁶+z⁵+z²+2)
とおくと、
1/u=(z¹²+z¹⁰+z⁹+z⁴+z³+z+2)
となり、
-u+1/u=z¹²+z¹¹+z¹⁰+z⁹+z⁸+z⁷+z⁶+z⁵+z⁴+z³+z²+z+4
となる。
ここで、
z¹³=1
z¹³-1=0
より、
(z-1)(z¹²+z¹¹+z¹⁰+z⁹+z⁸+z⁷+z⁶+z⁵+z⁴+z³+z²+z+1)=0
となって、
z¹²+z¹¹+z¹⁰+z⁹+z⁸+z⁷+z⁶+z⁵+z⁴+z³+z²+z=-1
となり、
-u+1/u=3

また、
-u×(1/u)=-1
なので、

2次方程式の解と係数の関係
-u+1/u=3
-u×(1/u)=-1
より、
x²-3x-1=0
の解となり、
x=(3±√13)/2

-u=(3+√13)/2
または、
-u=(3-√13)/2

問題文の式のsin(kπ/13)は、k<(13-1)/2なので、0<kπ/13<πの範囲となり、
u>0
となり、
(-3+√13)/2
のように、かなり面倒だが厳密解を求めることが出来た。

問題のように三角関数の角度の係数が歯抜けの等差数列になっているようなものの積が、厳密解となるのが面白いですよね。

このような性質を利用すると、
 

といったような式になる。

これらは何を意味しているかというと、
単位円の円弧を(2n+1)等分して出来る点、y>0の範囲において、
cosはx座標、sinはy座標、のそれぞれの積である。

また、(0,1)から各点への線分の積なら
 

のようなことも可能である。

では、今回の問題のような歯抜け状態のもので、厳密解が得られるものはどういったケースなのだろうか。

どうやら、ガロア群やガロア理論が関係しているようです。

例えば、今回の分母が13のケースでは、
13を法として、平方剰余と平方非剰余を考えます。

1²≡1 (mod 13)
2²≡4 (mod 13)
3²≡9 (mod 13)
4²≡3 (mod 13)
5²≡12 (mod 13)
6²≡10 (mod 13)
となって、
平方剰余の集合は、{1, 3, 4, 9, 10, 12}
平方非剰余の集合は、{2, 5, 6, 7, 8, 11}
となり、(1)式の指数が平方剰余、(2)式の指数が平方非剰余となっていることが解ります。

つまり、出題者は意図的に係数を決めたということです。

sin(π/13)sin(3π/13)sin(4π/13)sin(9π/13)sin(10π/13)sin(12π/13)=(13-3√13)/128
sin(2π/13)sin(5π/13)sin(6π/13)sin(7π/13)sin(8π/13)sin(11π/13)=(13+3√13)/128
cos(π/13)cos(3π/13)cos(4π/13)cos(9π/13)cos(10π/13)cos(12π/13)=(-11-3√13)/128
cos(2π/13)cos(5π/13)cos(6π/13)cos(7π/13)cos(8π/13)cos(11π/13)=(-11+3√13)/128
となります。

3≦2n+1≦21を表にまとめてみると、

平方剰余(sin)

平方非剰余(sin)

平方剰余(cos)

平方非剰余(cos)

のように、二重根号程度の厳密解に収まっている。


ではでは