円と長方形の面積が等しい図形問題

午後のひとときに、プログラミングも視野に入れた数学の図形問題を考える。

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図のように円の面積Xと長方形の面積Yとが等しいとき、
αを求めよ。

シンキングターイム

まず、円の中心座標などをどうやって求めるのかを考える。
各頂点や交点などに文字を割り当てる。

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どうやって円弧に接する円の中心座標Pを求めるのか。

Oを原点として、Aを(1,0)、Bを(0,1)、Cを(-1,0)として、
円の半径をrとすると、
点Pの座標は、∠αを使って表す方法と、∠βを使って表す方法の2通りが出来る。
((1-r)cosα,(1-r)sinα)
((√2+r)cosβ-1,(√2+r)sinβ)
どちらも同じ点Pの座標なので、xとyで2式となり、
(1-r)cosα=(√2+r)cosβ-1 ...(1)
(1-r)sinα=(√2+r)sinβ ...(2)
と表わせ、連立方程式となる。

(1)式の両辺を2乗する。
(1-r)²cos²α=((√2+r)cosβ-1)²
(1-r)²(1-sin²α)=((√2+r)cosβ-1)²
(1-r)²-(1-r)²sin²α=((√2+r)cosβ-1)²
左辺に(2)式の左辺があるので、(2)式の右辺に置き換えると、
(1-r)²-(√2+r)²sin²β=((√2+r)cosβ-1)²
(1-r)²-(√2+r)²(1-cos²β)=(√2+r)²cos²β-2(√2+r)cosβ+1
(1-r)²-(√2+r)²+(√2+r)cos²β=(√2+r)²cos²β-2(√2+r)cosβ+1
(1-r)²-(√2+r)²=-2(√2+r)cosβ+1
2(√2+r)cosβ=1-(1-r)²+(√2+r)²
cosβ=(1-(1-r)²+(√2+r)²)/(2(√2+r))
β=arccos((1-(1-r)²+(√2+r)²)/(2(√2+r)))

∠βを半径rを使って表すことが出来ました。

(1)式にβを代入すると、
(1-r)cosα=(√2+r)((1-(1-r)²+(√2+r)²)/(2(√2+r)))-1
(1-r)cosα=((1-(1-r)²+(√2+r)²)/2)-1
(1-r)cosα=(-1-(1-r)²+(√2+r)²)/2
cosα=(-1-(1-r)²+(√2+r)²)/(2(1-r))
α=arccos((-1-(1-r)²+(√2+r)²)/(2(1-r)))

∠αも半径rを使って表すことが出来ました。

点Pの座標、半径r、∠α、∠βが求まると、
点Pからy軸にrだけ下げたところが、点Qのy座標です。
y=(1-r)sinα-r
x²+y²=1
との連立方程式より、点Qのx座標が求まり、4頂点が求まります。

これで、半径rを変化させることで、∠α、∠β、点Pの座標、円の面積、長方形の面積が定まるということになります。

数学的な下準備は、これくらいで十分だと思われます。

後は解析的なアプローチとなるので、エクセルやプログラミングで導くことになります。


ではでは