三角形の合同条件と面積

久々に数学の話し。

三角形の合同条件

• 三辺相等（サンペンソウトウ）
  三辺がそれぞれ等しい
• 二辺夾角相等（ニヘンキョウカクソウトウ）
  二辺とその挟まれる角がそれぞれ等しい
• 一辺両端角相等（イッペンリョウタンカクソウトウ）
  一辺とその両端の角がそれぞれ等しい
  または、
  二角夾辺相等（ニカクキョウヘンソウトウ）
  二角とその挟まれる辺がそれぞれ等しい

相等（ソウトウ）とは、漢字の通り、相等しい（あいひとしい）、つまりそれぞれ等しいということ。
教科書に、どの様に掲載されているのか、年代によって様々だろう。
頭の固い受験の場などでは、減点される可能性もあるので、教科書の通りにおぼえておくことなんだろうけど、数学の本質とはあんまり関係ないところではある。
この記事内では、面倒なので漢字だけのを使うこととする。

さて、今回は三角形の面積について、この三角形の合同条件それぞれで、なんらかの公式があるだろうし、それを導出する方法を考えて行こうと思う。

つまり、
相等→既知
と置き換えることになる。
といっても先の順番ではやりません。
簡単なところからスタートします。

【二辺夾角相等→二辺夾角既知】
S=ab･sin(C)/2
これが公式です。
底辺をa、高さをh、面積をSとすると、
S=ah/2
これが小学校で習う、面積＝底辺×高さ÷2
では、三角関数を使って高さhを求めると、
h=b･sin(C)
故に、
S=ah/2=ab･sin(C)/2

簡単すぎました。

【三辺相等→三辺既知】
ヘロンの公式
S=√(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b+c)/4
を導出する。
まずは、三角関数の基本的な公式、
sin²θ+cos²θ=1 より、
sinθ=√1-cos²θ
余弦定理
c²=a²+b²-2ab･cos(C) より、
cos(C)=(a²+b²-c²)/(2ab)
これらを踏まえ、先の二辺夾角既知の式から、
S=ah/2=ab･sin(C)/2
=(ab/2)√1-cos²C
=(ab/2)√1-((a²+b²-c²)/(2ab))²
=(ab/2)√((2ab)/(2ab))²-((a²+b²-c²)/(2ab))²
=(ab/2)(1/(2ab))√(2ab)²-(a²+b²-c²)²
=√(2ab)²-(a²+b²-c²)²/4
=√(2ab+a²+b²-c²)(2ab-a²-b²+c²)/4
=√((a²+2ab+b²)-c²)(c²-(a²-2ab+b²))/4
=√((a+b)²-c²)(c²-(a-b)²)/4
=√(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/4

三角関数が一切消えましたね。

【二角夾辺相等→二角夾辺既知】
S=a²･sin(B)･sin(C)/(2･sin(B+C))
を導出する。
S=ah/2
分母分子にaを掛け、
=(a²･h)/(2･a)
=(a²/2)･(h/a)
=(a²/2)･(1/(a/h))
a=h･cot(B)+h･cot(C) より、
=(a²/2)･(1/(cot(B)+cot(C)))
=(a²/2)･(1/((cos(B)/sin(B))+(cos(C)/sin(C))))
=(a²/2)･(1/((cos(B)･sin(C)+cos(C)･sin(B))/(sin(B)･sin(C))))
=(a²/2)･(sin(B)･sin(C)/sin(B+C))
=a²･sin(B)･sin(C)/(2･sin(B+C))

こんな感じで、すべてが導出出来ました。
とは言っても、三角関数の基本的な公式を抑えて置く必要がありましたね。

公式として丸暗記も良いですが、導出も計算のテクニックを磨く上で、忘れた頃にやってみるのも良いかと思います。
結果をイメージ出来ているから、簡単に導出出来るとも言えますね。


ではでは