自分が小学生のころから研究しているものの一つ。
ピタゴラス数。
a2+b2=c2
a, b, c∈N
そして、ついに最大の成果である
⎜
⎝-1
-2
-2-2
-1
-22
2
3⎞
⎟
⎠⎛
⎜
⎝a
b
c-a
b
ca
-b
c-a
-b
c⎞
⎟
⎠=⎛
⎜
⎝a0
b0
c0a1
b2
c3a2
b2
c2a3
b3
c3⎞
⎟
⎠
という行列式にたどり着き、樹形図が見えてくる。
| 第1階層 | 第2階層 | 第3階層 | 第4階層 | 第5階層 | 第6階層 |
| (3, 4, 5) | (5, 12, 13) | (7, 24, 25) | (9, 40, 41) | (11, 60, 61) | (13, 84, 85) |
| (231, 160, 281) | |||||
| (253, 204, 325) | |||||
| (153, 104, 185) | (315, 572, 653) | ||||
| (425, 168, 457) | |||||
| (731, 780, 1069) | |||||
| (171, 140, 221) | (333, 644, 725) | ||||
| (551, 240, 601) | |||||
| (893, 924, 1285) | |||||
| (91, 60, 109) | (189, 340, 389) | (287, 816, 865) | |||
| (1269, 740, 1469) | |||||
| (1647, 1496, 2225) | |||||
| (247, 96, 265) | (585, 928, 1097) | ||||
| (475, 132, 493) | |||||
| (969, 1120, 1481) | |||||
| (429, 460, 629) | (767, 1656, 1825) | ||||
| (1749, 860, 1949) | |||||
| (2607, 2576, 3665) | |||||
| (105, 88, 137) | (203, 396, 445) | (301, 900, 949) | |||
| (1479, 880, 1721) | |||||
| (1885, 1692, 2533) | |||||
| (345, 152, 377) | (795, 1292, 1517) | ||||
| (713, 216, 745) | |||||
| (1403, 1596, 2125) | |||||
| (555, 572, 797) | (1005, 2132, 2357) | ||||
| (2183, 1056, 2425) | |||||
| (3293, 3276, 4645) | |||||
| (45, 28, 53) | (95, 168, 193) | (145, 408, 433) | (195, 748, 773) | ||
| (1537, 984, 1825) | |||||
| (1827, 1564, 2405) | |||||
| (627, 364, 725) | (1349, 2340, 2701) | ||||
| (1551, 560, 1649) | |||||
| (2805, 3068, 4157) | |||||
| (817, 744, 1105) | (1539, 3100, 3461) | ||||
| (2881, 1320, 3169) | |||||
| (4515, 4588, 6437) | |||||
| (117, 44, 125) | (279, 440, 521) | (441, 1160, 1241) | |||
| (1643, 924, 1885) | |||||
| (2201, 2040, 3001) | |||||
| (221, 60, 229) | (559, 840, 1009) | ||||
| (357, 76, 365) | |||||
| (799, 960, 1249) | |||||
| (455, 528, 697) | (793, 1776, 1945) | ||||
| (1995, 1012, 2237) | |||||
| (2905, 2832, 4057) | |||||
| (207, 224, 305) | (369, 800, 881) | (531, 1700, 1781) | |||
| (2993, 1824, 3505) | |||||
| (3731, 3300, 4981) | |||||
| (851, 420, 949) | (1909, 3180, 3709) | ||||
| (1887, 616, 1985) | |||||
| (3589, 4020, 5389) | |||||
| (1265, 1248, 1777) | (2323, 4836, 5365) | ||||
| (4785, 2272, 5297) | |||||
| (7315, 7332, 10357) | |||||
| (55, 48, 73) | (105, 208, 233) | (155, 468, 493) | (205, 828, 853) | ||
| (1767, 1144, 2105) | |||||
| (2077, 1764, 2725) | |||||
| (777, 464, 905) | (1659, 2900, 3341) | ||||
| (1961, 720, 2089) | |||||
| (3515, 3828, 5197) | |||||
| (987, 884, 1325) | (1869, 3740, 4181) | ||||
| (3431, 1560, 3769) | |||||
| (5405, 5508, 7717) | |||||
| (187, 84, 205) | (429, 700, 821) | (671, 1800, 1921) | |||
| (2613, 1484, 3005) | |||||
| (3471, 3200, 4721) | |||||
| (391, 120, 409) | (969, 1480, 1769) | ||||
| (667, 156, 685) | |||||
| (1449, 1720, 2249) | |||||
| (765, 868, 1157) | (1343, 2976, 3265) | ||||
| (3285, 1652, 3677) | |||||
| (4815, 4712, 6737) | |||||
| (297, 304, 425) | (539, 1140, 1261) | (781, 2460, 2581) | |||
| (4263, 2584, 4985) | |||||
| (5341, 4740, 7141) | |||||
| (1161, 560, 1289) | (2619, 4340, 5069) | ||||
| (2537, 816, 2665) | |||||
| (4859, 5460, 7309) | |||||
| (1755, 1748, 2477) | (3213, 6716, 7445) | ||||
| (6695, 3192, 7417) | |||||
| (10205, 10212, 14437) | |||||
| (15, 8, 17) | (33, 56, 65) | (51, 140, 149) | (69, 260, 269) | (87, 416, 425) | |
| (989, 660, 1189) | |||||
| (1127, 936, 1465) | |||||
| (527, 336, 625) | (1105, 1968, 2257) | ||||
| (1395, 532, 1493) | |||||
| (2449, 2640, 3601) | |||||
| (629, 540, 829) | (1207, 2376, 2665) | ||||
| (2109, 940, 2309) | |||||
| (3367, 3456, 4825) | |||||
| (209, 120, 241) | (451, 780, 901) | (693, 1924, 2045) | |||
| (2911, 1680, 3361) | |||||
| (3813, 3484, 5165) | |||||
| (513, 184, 545) | (1235, 1932, 2293) | ||||
| (945, 248, 977) | |||||
| (1971, 2300, 3029) | |||||
| (931, 1020, 1381) | (1653, 3604, 3965) | ||||
| (3871, 1920, 4321) | |||||
| (5733, 5644, 8045) | |||||
| (275, 252, 373) | (517, 1044, 1165) | (759, 2320, 2441) | |||
| (3901, 2340, 4549) | |||||
| (4935, 4408, 6617) | |||||
| (975, 448, 1073) | (2225, 3648, 4273) | ||||
| (2067, 644, 2165) | |||||
| (4017, 4544, 6065) | |||||
| (1525, 1548, 2173) | (2775, 5848, 6473) | ||||
| (5917, 2844, 6565) | |||||
| (8967, 8944, 12665) | |||||
| (35, 12, 37) | (85, 132, 157) | (135, 352, 377) | (185, 672, 697) | ||
| (1323, 836, 1565) | |||||
| (1593, 1376, 2105) | |||||
| (493, 276, 565) | (1071, 1840, 2129) | ||||
| (1189, 420, 1261) | |||||
| (2175, 2392, 3233) | |||||
| (663, 616, 905) | (1241, 2520, 2809) | ||||
| (2379, 1100, 2621) | |||||
| (3705, 3752, 5273) | |||||
| (63, 16, 65) | (161, 240, 289) | (259, 660, 709) | |||
| (897, 496, 1025) | |||||
| (1219, 1140, 1669) | |||||
| (99, 20, 101) | (261, 380, 461) | ||||
| (143, 24, 145) | |||||
| (341, 420, 541) | |||||
| (225, 272, 353) | (387, 884, 965) | ||||
| (1025, 528, 1153) | |||||
| (1475, 1428, 2053) | |||||
| (133, 156, 205) | (231, 520, 569) | (329, 1080, 1129) | |||
| (1947, 1196, 2285) | |||||
| (2409, 2120, 3209) | |||||
| (589, 300, 661) | (1311, 2200, 2561) | ||||
| (1333, 444, 1405) | |||||
| (2511, 2800, 3761) | |||||
| (855, 832, 1193) | (1577, 3264, 3625) | ||||
| (3195, 1508, 3533) | |||||
| (4905, 4928, 6953) | |||||
| (65, 72, 97) | (115, 252, 277) | (165, 532, 557) | (215, 912, 937) | ||
| (2013, 1316, 2405) | |||||
| (2343, 1976, 3065) | |||||
| (943, 576, 1105) | (2001, 3520, 4049) | ||||
| (2419, 900, 2581) | |||||
| (4305, 4672, 6353) | |||||
| (1173, 1036, 1565) | (2231, 4440, 4969) | ||||
| (4029, 1820, 4421) | |||||
| (6375, 6512, 9113) | |||||
| (273, 136, 305) | (611, 1020, 1189) | (949, 2580, 2749) | |||
| (3807, 2176, 4385) | |||||
| (5029, 4620, 6829) | |||||
| (609, 200, 641) | (1491, 2300, 2741) | ||||
| (1073, 264, 1105) | |||||
| (2291, 2700, 3541) | |||||
| (1155, 1292, 1733) | (2037, 4484, 4925) | ||||
| (4895, 2448, 5473) | |||||
| (7205, 7068, 10093) | |||||
| (403, 396, 565) | (741, 1540, 1709) | (1079, 3360, 3529) | |||
| (5757, 3476, 6725) | |||||
| (7239, 6440, 9689) | |||||
| (1519, 720, 1681) | (3441, 5680, 6641) | ||||
| (3283, 1044, 3445) | |||||
| (6321, 7120, 9521) | |||||
| (2325, 2332, 3293) | (4247, 8904, 9865) | ||||
| (8925, 4268, 9893) | |||||
| (13575, 13568, 19193) | |||||
| (21, 20, 29) | (39, 80, 89) | (57, 176, 185) | (75, 308, 317) | (93, 476, 485) | |
| (1175, 792, 1417) | |||||
| (1325, 1092, 1717) | |||||
| (665, 432, 793) | (1387, 2484, 2845) | ||||
| (1785, 688, 1913) | |||||
| (3115, 3348, 4573) | |||||
| (779, 660, 1021) | (1501, 2940, 3301) | ||||
| (2583, 1144, 2825) | |||||
| (4141, 4260, 5941) | |||||
| (299, 180, 349) | (637, 1116, 1285) | (975, 2728, 2897) | |||
| (4165, 2412, 4813) | |||||
| (5439, 4960, 7361) | |||||
| (759, 280, 809) | (1817, 2856, 3385) | ||||
| (1419, 380, 1469) | |||||
| (2937, 3416, 4505) | |||||
| (1357, 1476, 2005) | (2415, 5248, 5777) | ||||
| (5605, 2772, 6253) | |||||
| (8319, 8200, 11681) | |||||
| (377, 336, 505) | (715, 1428, 1597) | (1053, 3196, 3365) | |||
| (5335, 3192, 6217) | |||||
| (6765, 6052, 9077) | |||||
| (1305, 592, 1433) | (2987, 4884, 5725) | ||||
| (2745, 848, 2873) | |||||
| (5355, 6068, 8093) | |||||
| (2059, 2100, 2941) | (3741, 7900, 8741) | ||||
| (8023, 3864, 8905) | |||||
| (12141, 12100, 17141) | |||||
| (77, 36, 85) | (175, 288, 337) | (273, 736, 785) | (371, 1380, 1429) | ||
| (2769, 1760, 3281) | |||||
| (3315, 2852, 4373) | |||||
| (1075, 612, 1237) | (2325, 4012, 4637) | ||||
| (2623, 936, 2785) | |||||
| (4773, 5236, 7085) | |||||
| (1425, 1312, 1937) | (2675, 5412, 6037) | ||||
| (5073, 2336, 5585) | |||||
| (7923, 8036, 11285) | |||||
| (165, 52, 173) | (407, 624, 745) | (649, 1680, 1801) | |||
| (2331, 1300, 2669) | |||||
| (3145, 2928, 4297) | |||||
| (285, 68, 293) | (735, 1088, 1313) | ||||
| (437, 84, 445) | |||||
| (1007, 1224, 1585) | |||||
| (615, 728, 953) | (1065, 2408, 2633) | ||||
| (2747, 1404, 3085) | |||||
| (3977, 3864, 5545) | |||||
| (319, 360, 481) | (561, 1240, 1361) | (803, 2604, 2725) | |||
| (4641, 2840, 5441) | |||||
| (5763, 5084, 7685) | |||||
| (1363, 684, 1525) | (3045, 5092, 5933) | ||||
| (3055, 1008, 3217) | |||||
| (5781, 6460, 8669) | |||||
| (2001, 1960, 2801) | (3683, 7644, 8485) | ||||
| (7521, 3560, 8321) | |||||
| (11523, 11564, 16325) | |||||
| (119, 120, 169) | (217, 456, 505) | (315, 988, 1037) | (413, 1716, 1765) | ||
| (3735, 2432, 4457) | |||||
| (4365, 3692, 5717) | |||||
| (1705, 1032, 1993) | (3627, 6364, 7325) | ||||
| (4345, 1608, 4633) | |||||
| (7755, 8428, 11453) | |||||
| (2139, 1900, 2861) | (4061, 8100, 9061) | ||||
| (7383, 3344, 8105) | |||||
| (11661, 11900, 16661) | |||||
| (459, 220, 509) | (1037, 1716, 2005) | (1615, 4368, 4657) | |||
| (6405, 3652, 7373) | |||||
| (8479, 7800, 11521) | |||||
| (999, 320, 1049) | (2457, 3776, 4505) | ||||
| (1739, 420, 1789) | |||||
| (3737, 4416, 5785) | |||||
| (1917, 2156, 2885) | (3375, 7448, 8177) | ||||
| (8165, 4092, 9133) | |||||
| (11999, 11760, 16801) | |||||
| (697, 696, 985) | (1275, 2668, 2957) | (1853, 5796, 6085) | |||
| (9975, 6032, 11657) | |||||
| (12525, 11132, 16757) | |||||
| (2665, 1272, 2953) | (6027, 9964, 11645) | ||||
| (5785, 1848, 6073) | |||||
| (11115, 12508, 16733) | |||||
| (4059, 4060, 5741) | (7421, 15540, 17221) | ||||
| (15543, 7424, 17225) | |||||
| (23661, 23660, 33461) |
既約ピタゴラス数は3分木構造をしていることを発見する。
さて、ここから新たに何が発見できるのだろうか。
ユークリッドはピタゴラス数(a, b, c)をmとnを使って表しました。
ならば、この樹形図からmとnを割り出すことも可能ではなかろうか。
⎝-1
02
1⎞
⎠⎛
⎝m
nn
m-m
n-n
m⎞
⎠=⎛
⎝m0
n0m1
n1m2
n2m3
n3⎞
⎠
と容易に求まった。
⎜
⎝-1
-2
-2-2
-1
-22
2
3⎞
⎟
⎠=P-1
と逆行列が等しいという性質も、
⎝-1
02
1⎞
⎠=R-1
ちゃんと受け継がれている。
既約ピタゴラス数の木から、
(3, 4, 5) ⇔ (2, 1)
(5, 12, 13) ⇔ (3, 2)
(15, 8, 17) ⇔ (4, 1)
(21, 20, 29) ⇔ (5, 2)
…
(a, b, c) ⇔ (m, n)
といったように全単射の写像ができ、
ピタゴラス数の行列式と同様に行列式までたどり着く。
(2, 1)を根として、3つの(m, n)が出た段階で、(m, n)に現れないものがいくつか見つかる。
(3, 1), (5, 1)
である。
既約ピタゴラス数の木(a, b, c)は(3, 4, 5)を根としている。
既約ピタゴラス数の木に対して全単射の木(m, n)は(2, 1)を根としている。
この木には(3, 1)や(5, 1)が現れない。
つまり、(3, 1)を根とする木が存在するのではなかろうか。
(m, n) ⇔ (a, b, c)
(3, 1) ⇔ (8, 6, 10)
(5, 3) ⇔ (16, 30, 34)
(5, 1) ⇔ (24, 10, 26)
(7, 3) ⇔ (40, 42, 58)
…
この木は、gcd(a, b, c)=2の木である。
つまり、ピタゴラス数ではあるが既約ではないのだ。
では、(2, 1)と(3, 1)を根とする(m, n)とは一体何なんだろうか。
結論からいうと、m, nは互いに素である。
2つの自然数が互いに素の木は2本あって、
(2, 1)を根とするものと、(3, 1)を根とするもの、
ということである。
ユークリッドの方法で、既約ピタゴラス数だけを求めるには、
m, n∈N
m>n
に加えて、
gcd(m, n)=1
m-n≡1 (mod 2)
という2つの条件が追加されている。
a=m2-n2
b=2mn
c=m2+n2
ということで、
gcd(a, b, c)=1
となります。
木の考え方で言えば、
既約ピタゴラス数(a, b, c)は、(3, 4, 5)を根とする3分木で表わせ、これと全単射の関係にある木は、(m, n)=(2, 1)を根とするmとnが互いに素の3分木である。
ユークリッドの方法で既約ピタゴラス数を求める際、既約でないピタゴラス数を求める方法に条件を追加しましたね。
gcd(m, n)=1
これはピタゴラス数を既約ピタゴラス数に限定するために互いに素にしているので、十分に理解の範疇である。
m-n≡1 (mod 2)
という条件が唐突過ぎて、理解に苦しむ。
modを使わずとも、
m-n∈Odd
ということであり、なぜ奇数でなければならないのかの理由はよく解らなく、そうすれば都合が良かったとも読み取れてしまう。
もし、このピタゴラス数の木構造がもっとメジャーになれば、全単射で(2, 1)を根とする木だけで、(3, 1)を根とする木は、既約ピタゴラス数にならないことも容易に示せる。
つまり、
m-1≡1 (mod 2) ⇔ (2, 1)を根とする3分木
m-1≡0 (mod 2) ⇔ (3, 1)を根とする3分木
ということなのだ。
さて、2つの自然数が互いに素である確率というものがあるが、6/π2 という値はよく知られている。
2数が互いに素の木は、(2, 1)、(3, 1)を根とする2本の3分木構造で示せるので、
既約ピタゴラス数の木は、この1本分、つまり確率は半分の、3/π2 ということになる。
この辺りの数学の分野とも絡んできそうな勢いですね。
これはこれで、別の記事にしましょうか。
既約ピタゴラス数の木、互いに素の木、いろいろな木が出てきました。
ピタゴラス数は無限に存在する。
と言った場合、木が無限に存在しているというイメージ。
無限に広がる大きな森です。
既約ピタゴラス数は無限に存在する。
と言った場合、たった1本の木の枝分かれしている部分（ノード）が幹と3本の枝に解れ、それが無限に続いているイメージ。
たった1本の木の中に存在する無限の世界。
規則的な3分木の木構造ですから、準位付けができるので、順番に数えることができる無限。
つまり、可算無限という無限です。
数学の分野でいうと集合論ですね。
既約ピタゴラス数の3分木と全単射の関係にある(2, 1)を根とする2つの自然数が互いに素の3分木。
2つの自然数が互いに素の3分木はもう一本あって、(3, 1)を根とする。
イメージが広がってきましたよね。
数学はイメージが大切で、誰しもが共通のイメージを持てると、その分野は広く深く大きく発達しやい環境となっていきます。
まだまだ続きますよ。
ではでは