n番目の素数の近似式について

n番目の素数は、どのくらいの大きさなのか。

n番目の素数をP_nとすると、
P_n ≈ log₂n!
となるようです。

n!の近似式、スターリングの近似式と、その式の精度を上げる方法を書きました。

n! ≈ √2nπ･(n/e)ⁿ･{m}

mで精度を上げることが出来ます。
とりあえず、m=1としておきます。

どちらの式をみても、
n番目の素数の近似式で、なんでlogの底が2なんだろうとか、
n!のの近似式で、なんでルート、つまり1/2乗が出てくるんだろうとか、
不思議な感じがします。

これら2式より、

P_n ≈ n･log₂(n/e)+(1/2)･log₂2nπ

もし、近似式の精度をあげる必要があるならば、

P_n ≈ n･log₂(n/e)+(1/2)･log₂2nπ+log₂m

となるだろうが、あまり意味をなさないかもしれません。

さて、実際にどれくらい精度があるのかを見てみると、

思ったよりも精度が出ないですね。

 

ではでは