前回はデータを出しましたので、今回はそのデータの分析ですね。
問題
□log□□□□－□C□×□－□＝2020
上式は小町算の覆面算です。
小町算は1から9が1つずつ登場する計算式です。
9つの□を異なる1から9までの数字で埋めよ。
logは対数、Cはコンビネーション（組み合わせ）です。
でしたが、これをプログラミングの問題と解釈して、プログラムを書いて解いてみようという試みです。
そこで、プログラミング問題として、
1) |左辺-右辺|<1に該当する解をすべて求めよ。
2) 左辺が自然数になる解をすべて求めよ。
3) 等号が満たされる解をすべて求めよ。
が求まるようなプログラムを考えて、実行した結果のデータを前回出しました。
今回は、そのデータをあれやこれややっていこうかと思います。
右辺が整数の全7992行の解データを分析するために、
a^log_b(cde)が整数となる件数を、縦軸をa^log_b、横軸をcdeとして、
表にまとめる。
計Aは、全体の計
計Bは、4つの型との共通部分を考慮した計
縦軸の赤、青、緑は他の型で共通している。
また汎用型は、計Aにて2520を示している3行で横軸のオレンジ色部分。
すべてのデータのセルが12の倍数となっているのは、
コンビネーションの項と定数項
－fCg×h－i
が、f＞gという条件より、半分となり、
4!/2＝(4×3×2×1)/2＝12
ということです。
汎用型以外で、計Aと計Bが等しくないところは、他の行と共通しているところがあるということを示している。
該当するデータを分類してみると、
cde同士が等しく、a同士、b同士が等しくない
49組見つかり、いずれも
(2^n)^log_(2^m)(cde)＝(3^n)^log_(3^m)(cde)＝x
というa、bにも規則があった。
また、解xは、1行目のx＝24をのぞいて、すべて平方数であった。
(2^2)^log_2(c)＝(3^2)^log_3(c)＝x^2
これが成り立つのかの証明、
すべての辺を1/2乗する
2^log_2(c)＝3^log_3(c)＝x
すべての辺でlog_xをとる
log_2(c)×log_x(2)＝log_3(c)×log_x(3)＝log_x(x)
log_b(c)＝log(c)/log(b)
のように、底が等しい分数の形に変形する
(log(c)/log(2))×(log(2)/log(x))＝(log(c)/log(2))×(log(3)/log(x))＝log_x(x)
分母分子が打ち消され、
(log(c)/log(x))＝(log(c)/log(x))＝log_x(x)
log_x(c)＝log_x(c)＝log_x(x)
これより、
x＝c
であれば、成り立つ。
つまり、
(2^2)^log_2(x)＝(3^2)^log_3(x)＝x^2
より、
(b^2)^log_b(x)＝x^2 ...法則[1]（仮）
であれば、成り立つ。
つづいて、特殊な
2^log_4(576)＝3^log_9(576)＝24
については、cde＝576＝24^2と平方数で、
それぞれの辺を計算すると、
2^log_4(576)＝2^log_4(24^2)＝2^2log_4(24)＝4^log_4(24)
3^log_9(576)＝3^log_9(24^2)＝3^2log_9(24)＝9^log_9(24)
ということで、a＜bという関係だったが、a＝bとなった。
4^log_4(24)＝9^log_9(24)＝24
すべての辺でlog_24を取る
log_4(24)×log_24(4)＝log_9(24)×log_24(9)＝log_24(24)
底が等しい分数の形にする
(log(24)/log(4))×(log(4)/log(24)＝(log(24)/log(9))×(log(9)/log(24))＝log(24)/log(24)
分母分子が打ち消されて、
1＝1＝1
となる。
つまり、
2^log_(2^2)(x^2)＝3^log_(3^2)(x^2)＝x
より、
a^log_(a^2)(x^2)＝x ...法則[2]（仮）
ならば成り立つ。
では、残りの7組は？
4^log_8(125)＝3^log_9(625)＝25＝5^2
4^log_8(729)＝3^log_4(256)＝81＝9^2
4^log_3(729)＝8^log_4(256)＝4096＝64^2＝16^3
5^log_3(729)＝9^log_3(125)＝8^log_4(625)＝15625＝125^2＝25^3
8^log_4(729)＝9^log_4(512)＝19683＝27^3
6^log_3(729)＝9^log_3(216)＝46656＝216^2＝36^3
8^log_3(729)＝9^log_3(512)＝262144＝512^2＝64^3
解が平方数のみは2組、
解が立方数のみは1組、
解が平方数であり立方数であるのは4組、
となった。
解が平方数のみの2式について、
4^log_8(125)＝3^log_9(625)＝25＝5^2
4^log_8(125)＝4^log_8(5^3)＝4^3log_8(5)＝64^log_8(5)
3^log_9(625)＝3^log_9(5^4)＝3^4log_9(5)＝81^log_9(5)
これは、
64^log_8(5)＝81^log_9(5)＝5^2
(8^2)^log_8(5)＝(9^2)^log_9(5)＝5^2
であるから、法則[1]（仮）
(b^2)^log_b(x)＝x^2
では、もうひとつの
4^log_8(729)＝3^log_4(256)＝81＝9^2
4^log_8(27^2)＝3^log_4(16^2)＝9^2
4^2log_8(27)＝3^2log_4(16)＝9^2
(4^2)^log_8(27)＝(3^2)^log_4(16)＝9^2
すべての辺を1/2乗する
4^log_8(27)＝3^log_4(16)＝9 ...(1)
すべての辺でlog_9をとる
log_8(27)×log_9(4)＝log_4(16)×log_9(3)＝log_9(9)
共通の底の分数の形にする
(log(27)/log(8))×(log(4)/log(9))＝(log(16)/log(4))×(log(3)/log(9))＝log(9)/log(9)
(log(27)log(4))/(log(8)log(9))＝(log(16)log(3))/(log(4)log(9))＝1
平方数を2乗の形にして
(log(27)log(2^2))/(log(8)log(3^2))＝(log(2^4)log(3))/(log(2^2)log(3^2))＝1
外に出すと打ち消され、
(log(27)log(2))/(log(8)log(3))＝(log(2)log(3))/(log(2)log(3))＝1
立方数を3乗の形にして
(log(3^2)log(2))/(log(2^3)log(3))＝(log(2)log(3))/(log(2)log(3))＝1
外に出すと打ち消され、
(log(3)log(2))/(log(2)log(3))＝(log(2)log(3))/(log(2)log(3))＝1
分母分子も打ち消され、
1＝1＝1
となり、成り立つ。
つまり、(1)式
4^log_8(27)＝3^log_4(16)＝9
(2^2)^log_(2^3)(3^3)＝3^log_(2^2)(2^2^2)＝3^2
(2^2)^log_(2^3)(3^3)＝3^2log_(2^2)(2^2)＝3^2
(2^2)^log_(2^3)(3^3)＝(3^2)log_(2^2)(2^2)＝3^2
とすると、法則[1]（仮）より、
2^log_(2^3)(3^3)＝3^log_(2^2)(2^2)＝3
3^log_(2^2)(2^2)＝3は、
a^log_b(b)＝a ...法則[3]（仮）
2^log_(2^3)(3^3)＝3は、
2^3log_(2^3)(3)＝3
a^log_a(x)＝x ...法則[4]（仮）
という法則が見いだせる。
解が立方数のみの
8^log_4(729)＝9^log_4(512)＝19683＝27^3
8^log_4(729)＝8^log_4(9^3)＝8^3log_4(9)＝512^log_4(9)
9^log_4(512)＝9^log_4(8^3)＝9^3log_4(8)＝729^log_4(8)
512^log_4(9)＝729^log_4(8)＝27^3
(8^3)^log_4(9)＝(9^3)^log_4(8)=27^3
(b^2)^log_b(x)＝x^2 ...法則[1]（仮）は、
(b^n)^log_b(x)＝x^n ...法則[1']（仮）ということだと考えられる。
8^log_4(9)＝9^log_4(8)＝27
8^log_4(9)＝27
(2^3)log_4(9)＝3^3
法則[1']（仮）より、
2^log_4(9)＝3
2^log_4(3^2)＝3
法則[2]（仮）より、成り立つ
9^log_4(8)＝27
9^log_4(2^3)＝3^3
9^3log_4(2)＝3^3
(9^3)^log_4(2)＝3^3
法則[1']（仮）より、
9^log_4(2)＝3
両辺log_3をとる
log_4(2)log_3(9)＝log_3(3)
log_4(2)log_3(9)＝1
共通の底で分数にすると、
(log(2)/log(4))×(log(9)/log(3))＝1
(log(2)log(9))/(log(4)log(3))＝1
(log(2)log(3^2))/(log(2^2)log(3))＝1
(log(2)log(3))/(log(2)log(3))＝1
1＝1
とりあえず、これまでの法則をまとめると、
(b^n)^log_b(x)＝x^n ...法則[1']（仮）
a^log_(a^2)(x^2)＝x ...法則[2]（仮）
a^log_b(b)＝a ...法則[3]（仮）
a^log_a(x)＝x ...法則[4]（仮）
法則[2]（仮）は、
a^log_(a^2)(x^2)＝x
a^2log_(a^2)(x)＝x
(a^2)^log_(a^2)(x)＝x
法則[4]（仮）より正しいので、逆説的に
(a^n)^log_(a^n)(x)＝x
a^nlog_(a^n)(x)＝x
a^log_(a^n)(x^n)＝x ...法則[2']（仮）
となる。
とりあえず、それぞれの法則を、新たにナンバリングしつつ、証明してみる。
法則[4]（仮）→法則α（a＝b∧c＝x）
a^log_a(x)＝x
両辺をlog_xをとる
log_a(x)log_x(a)＝log_x(x)
共通の底で分数化
(log(x)/log(a))(log(a)/log(x))＝log(x)/log(x)
約分して、
1×1＝1
法則[3]（仮）→法則β（a＝x∧b＝c）
a^log_b(b)＝a
両辺をlog_aをとる
log_b(b)log_a(a)＝log_a(a)
共通の底で分数化
(log(b)/log(b))(log(a)/log(a))＝log(a)/log(a)
約分して、
1×1＝1
法則[1']（仮）→法則γ（b^n＝a∧c^n＝x）
(b^n)^log_b(c)＝c^n
b^nlog_b(c)＝c^n
b^log_b(c^n)＝c^n
法則αより正しい
法則[2']（仮）→法則δ（a^n＝b∧x^n＝c）
a^log_(a^n)(x^n)＝x
a^nlog_(a^n)(x)＝x
(a^n)^log_(a_n)(x)＝x
法則αより正しい
法則ε（a＝c∧b＝b）
a^log_b(c)＝c^log_b(a)＝x
各辺をlog_bをとる
log_b(c)log_b(a)＝log_b(a)log_b(c)＝log_b(x)
法則まとめ
a^log_b(c)＝x
a,b,c,x,n∈N
において、以下の法則が成り立つ
法則α（a＝b∧c＝x）
a^log_a(c)＝c
法則β（a＝x∧b＝c）
a^log_b(b)＝a
法則γ（b^n＝a∧c^n＝x）
(b^n)^log_b(c)＝c^n
法則δ（a^n＝b∧x^n＝c）
a^log_(a^n)(x^n)＝x
法則ε（a＝c∧b＝b）
a^log_b(c)＝c^log_b(a)＝x
これらの法則をつかって、左辺と右辺のcが等しくないもｊのを証明する
4^log_8(125)＝3^log_9(625)＝25＝5^2 ...(1)
4^log_8(729)＝3^log_4(256)＝81＝9^2 ...(2)
4^log_3(729)＝8^log_4(256)＝4096＝64^2＝16^3 ...(3)
5^log_3(729)＝9^log_3(125)＝8^log_4(625)＝15625＝125^2＝25^3 ...(4)
8^log_4(729)＝9^log_4(512)＝19683＝27^3 .(5)
6^log_3(729)＝9^log_3(216)＝46656＝216^2＝36^3 ...(6)
8^log_3(729)＝9^log_3(512)＝262144＝512^2＝64^3 ...(7)
を解いてみる。
(1)式
4^log_8(125)＝3^log_9(625)＝25＝5^2
4^log_(2^3)(5^3)＝3^log_(3^2)(25^2)＝25＝5^2
4^log_(2^3)(5^3)＝3^2log_(3^2)(5^2)＝25＝5^2
4^log_(2^3)(5^3)＝9^log_(3^2)(5^2)＝25＝5^2
法則δ
(2)式
4^log_8(729)＝3^log_4(256)＝81＝9^2
法則εより、
729^log_8(4)＝256^log_4(3)＝81＝9^2
(9^3)^log_(2^3)(4)＝(16^2)^log_(2^2)(3)＝81＝9^2
(9^3)^log_(2^3)(2^2)＝(16^2)^log_(2^2)(3)＝81＝9^2
(16^2)^log_(2^2)(3)＝9^2
16^log_(2^2)(3)＝9＝3^2
(4^2)^log_(2^2)(3)＝3^2
4^log_(2^2)(3)＝3
(2^2)^log_(2^2)(3)＝3
法則α
(9^3)^log_(2^3)(4)＝9^2
(9^3)^log_(2^3)(2^2)＝9^2
(9^3)^2log_(2^3)(2^2)＝9^2
((9^3)^2)^log_(2^3)(2)＝9^2
(9^3)^log_(2^3)(2)＝9
法則εを使い、
2^log_(2^3)(9^3)＝9
法則δ
(3)式
4^log_3(729)＝8^log_4(256)＝4096＝64^2＝16^3
(2^2)^log_3(9^3)＝(2^3)^log_4(16^2)＝4096＝64^2＝16^3
(2^2)^log_3(9^3)＝4096＝64^2＝16^3
(2^2)^log_3(9^3)＝64^2
2^log_3(9^3)＝64
2^3log_3(9)＝4^3
(2^3)^log_3(9)＝4^3
2^log_3(9)＝4
法則εを使い、
9^log_3(2)＝4
(3^2)^log_3(2)＝2^2
3^log_3(2)＝2
法則α
8^log_4(256)＝4096＝64^2＝16^3
(2^3)^log_4(256)＝16^3
2^log_4(256)＝16
2^log_(2^2)(16^2)＝16
法則δ
(4)式
5^log_3(729)＝9^log_3(125)＝8^log_4(625)＝15625＝125^2＝25^3
5^log_3(9^3)＝(3^2)^log_3(5^3)＝(2^3)^log_4(25^2)＝15625＝125^2＝25^3
5^log_3(9^3)＝(3^2)^log_3(5^3)＝15625＝125^2＝25^3
5^3log_3(9)＝(3^2)^3log_3(5)＝25^3
(5^3)^log_3(9)＝((3^2)^3)^log_3(5)＝25^3
5^log_3(9)＝(3^2)^log_3(5)＝25
5^log_3(9)＝25
5^log_3(3^2)＝5^2
法則εを使い、
(3^2)^log_3(5)＝5^2
3^log_3(5)＝5
法則α
(3^2)^log_3(5)＝25
(3^2)^log_3(5)＝5^2
3^log(3)(5)＝5
法則α
(2^3)^log_4(25^2)＝125^2
法則εを使い、
(25^2)^log_4(2^3)＝125^2
25^log_4(2^3)＝125
(5^2)^log_4(2^3)＝5^3
法則εを使い、
(2^3)^log_4(5^2)＝5^3
2^log_4(5^2)＝5
2^log_(2^2)(5^2)＝5
法則δ
(5)式
8^log_4(729)＝9^log_4(512)＝19683＝27^3
(2^3)^log_4(9^3)＝(3^2)^log_4(8^3)＝27^3
(2^3)^3log_4(9)＝(3^2)^3log_4(8)＝27^3
((2^3)^3)^log_4(9)＝((3^2)^3)^log_4(8)＝27^3
(2^3)^log_4(9)＝(3^2)^log_4(8)＝27
(2^3)^log_4(9)＝(3^2)^log_4(2^3)＝3^3
(2^3)^log_4(9)＝(3^2)^3log_4(2)＝3^3
(2^3)^log_4(9)＝((3^2)^3)^log_4(2)＝3^3
2^log_4(9)＝(3^2)^log_4(2)＝3
2^log_4(9)＝3
2^log_(2^2)(3^2)＝3
法則δ
(3^2)^log_4(2)＝3
法則εを使い、
2^log_(2^2)(3^2)＝3
法則δ
(6)式
6^log_3(729)＝9^log_3(216)＝46656＝216^2＝36^3
6^log_3(9^3)＝(3^2)^log_3(6^3)＝46656＝216^2＝36^3
6^3log_3(9)＝(3^2)^3log_3(6)＝36^3
(6^3)^log_3(9)＝((3^2)^3)^log_3(6)＝36^3
6^log_3(9)＝(3^2)^log_3(6)＝36
6^log_3(3^2)＝(3^2)^log_3(6)＝6^2
6^log_3(3^2)＝6^2
法則εを使い、
(3^2)^log_3(6)＝6^2
3^log_3(6)＝6
法則α
(3^2)^log_3(6)＝6^2
3^log_3(6)＝6
法則α
(7)式
8^log_3(729)＝9^log_3(512)＝262144＝512^2＝64^3
(2^3)^log_3(9^3)＝(3^2)^log_3(8^3)＝262144＝512^2＝64^3
(2^3)^3log_3(9)＝(3^2)^3log_3(8)＝64^3
((2^3)^3)^log_3(9)＝((3^2)^3)^log_3(8)＝64^3
(2^3)^log_3(9)＝(3^2)^log_3(8)＝64
(2^3)^log_3(3^2)＝(3^2)^log_3(2^3)＝64
(2^3)^log_3(3^2)＝64
法則εを使い、
(3^2)^log_3(2^3)＝8^2
3^log_3(8)＝8
法則α
(3^2)^log_3(2^3)＝64
(3^2)^log_3(2^3)＝8^2
3^^log_3(8)＝8
法則α
よっしゃ、
とりあえず全部証明した。
もう少し、法則をまとめたいな。
ではでは