昨日はプログラミングで各項の計算方法を考えました。
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問題
□log□□□□－□C□×□－□＝2020
上式は小町算の覆面算です。
小町算は1から9が1つずつ登場する計算式です。
9つの□を異なる1から9までの数字で埋めよ。
logは対数、Cはコンビネーション（組み合わせ）です。
でしたが、これをプログラミングの問題と解釈して、プログラムを書いて解いてみようという試みです。
そこで、プログラミング問題として、
1) |左辺-右辺|<1に該当する解をすべて求めよ。
2) 左辺が自然数になる解をすべて求めよ。
3) 等号が満たされる解をすべて求めよ。
が求まるようなプログラムを考えてみようということでしたね。
プログラミングして数学の命題の証明って、なかなか受け入れがたいものがあるかとは思う。
ただ、プログラムが間違っていないならば、出力されるデータを分析して、足りないところ、余計なところなどが見えてくることで、頭の中が整理されて、新しい真理にたどり着けることもある。
1) では、浮動小数点演算をして、右辺－左辺の絶対値が1未満のものを探す。
あわよくば差が0になるものがあれば、それが解である。
誤差が出てしまったら、解はないのか、その辺が争点となりそうです。
2) では、冪乗の項が整数となるものを探すということと同義である。
つまり、1)とはちょっと違う角度からのアプローチということです。
pow関数、log関数は浮動小数点演算なので、浮動小数点演算による誤差を想定して、何をもって整数なのか、そこが難しいところではあるが、避けては通れないであろう。
3) は、1)や2)に囚われない発想で、皆様への宿題という感じです。
私からは特に用意していませんが、一番最初の記事で解を1つ見つけているので、それが見つかるようなプログラムを作れるのかということです。
1)のプログラムの出力結果
5^log_3(186)-7C2x4-9=2019.4010184661
9^log_5(267)-4C1x8-3=2019.4862357006
9^log_5(267)-8C1x4-3=2019.4862357006
7^log_4(231)-9C8x6-5=2019.4944193820
8^log_6(743)-9C5x1-2=2019.5844288217
6^log_5(943)-7C2x1-8=2019.6726274134
9^log_6(514)-8C2x3-7=2019.7599841002
5^log_4(719)-6C2x3-8=2019.8101901903
9^log_7(851)-4C3x2-6=2019.9026507147
8^log_6(712)-5C4x3-9=2019.9472310830
8^log_4(169)-7C3x5-2=2020.0000000000
9^log_7(854)-6C3x1-2=2020.0005481962
6^log_5(937)-4C2x1-8=2020.1661901498
9^log_7(853)-6C2x1-4=2020.3008401729
5^log_4(718)-6C3x2-9=2020.4636135092
8^log_5(367)-4C1x9-2=2020.8497760356
8^log_5(367)-9C1x4-2=2020.8497760356
printfのフォーマットを
"%d^log%d(%d%d%d)-%dC%d-%d=%.10lf\n"
のようにして出力したものを、Excelに取り込み、右辺の値を切り離してソートしました。
プログラムは2020.0000000000のように、小数点以下10桁が0の整数らしい値を出してきました。
double型は、10進数では14桁が有効桁数と考えられますので、
8^log_4(169)-7C3x5-2=2020
が整数解であることは、間違いないでしょうし、他に整数解が無いということも解ります。
2)のプログラムの出力結果なのだが、なんと7992行分で、アメブロでは4万文字制限があるため、テキストではすべてを列挙することが出来ません。
そこで、その2でコンビネーションの項での最大値を考えました。
fCg＝9C5＝9C4＝126
fCg×h＝126×8＝1008
alogbcde－1008－7＝2020
alogbcde－1015＝2020
というわけで、2020と1015未満の差の部分と、直前直後1つずつ、0の直前直後1つずつ、データの最小と最大を書いてみます。
2^log_4(361)-9C5x8-7= -996.000000000000000
…
4^log_8(512)-7C6x9-3= -2.000000000000000
7^log_8(512)-9C3x4-6= 1.000000000000000
…
9^log_8(512)-7C6x3-4= 704.000000000000000
7^log_4(256)-9C3x8-1= 1728.000000000000000
7^log_4(256)-8C3x9-1= 1896.000000000000000
9^log_4(128)-7C3x6-5= 1972.000000000000000
9^log_4(128)-7C3x5-6= 2006.000000000000000
8^log_4(169)-7C3x5-2= 2020.000000000000000
9^log_4(128)-6C3x7-5= 2042.000000000000000
9^log_4(128)-7C5x6-3= 2058.000000000000000
9^log_4(128)-6C3x5-7= 2080.000000000000000
8^log_4(169)-7C2x5-3= 2089.000000000000000
9^log_4(128)-5C3x7-6= 2111.000000000000000
9^log_4(128)-7C5x3-6= 2118.000000000000000
9^log_4(128)-5C3x6-7= 2120.000000000000000
8^log_4(169)-7C3x2-5= 2122.000000000000000
8^log_4(169)-5C2x7-3= 2124.000000000000000
8^log_4(169)-5C3x7-2= 2125.000000000000000
8^log_4(169)-7C2x3-5= 2129.000000000000000
8^log_4(169)-7C5x3-2= 2132.000000000000000
9^log_4(128)-6C5x7-3= 2142.000000000000000
9^log_4(128)-7C6x5-3= 2149.000000000000000
8^log_4(169)-7C5x2-3= 2152.000000000000000
8^log_4(169)-5C2x3-7= 2160.000000000000000
9^log_4(128)-7C6x3-5= 2161.000000000000000
9^log_4(128)-6C5x3-7= 2162.000000000000000
8^log_4(169)-5C3x2-7= 2170.000000000000000
8^log_4(169)-3C2x7-5= 2171.000000000000000
8^log_4(169)-3C2x5-7= 2175.000000000000000
7^log_4(256)-9C3x1-8= 2309.000000000000000
7^log_4(256)-8C1x9-3= 2326.000000000000000
7^log_4(256)-9C1x8-3= 2326.000000000000000
7^log_4(256)-8C3x1-9= 2336.000000000000000
7^log_4(256)-3C1x9-8= 2366.000000000000000
7^log_4(256)-9C1x3-8= 2366.000000000000000
7^log_4(256)-3C1x8-9= 2368.000000000000000
7^log_4(256)-8C1x3-9= 2368.000000000000000
7^log_4(256)-9C8x3-1= 2373.000000000000000
7^log_4(256)-9C8x1-3= 2389.000000000000000
8^log_4(196)-7C3x5-2= 2566.999999999997700
8^log_4(196)-7C2x5-3= 2635.999999999997700
8^log_4(196)-7C3x2-5= 2668.999999999997700
8^log_4(196)-5C2x7-3= 2670.999999999997700
8^log_4(196)-5C3x7-2= 2671.999999999997700
8^log_4(196)-7C2x3-5= 2675.999999999997700
8^log_4(196)-7C5x3-2= 2678.999999999997700
8^log_4(196)-7C5x2-3= 2698.999999999997700
8^log_4(196)-5C2x3-7= 2706.999999999997700
8^log_4(196)-5C3x2-7= 2716.999999999997700
8^log_4(196)-3C2x7-5= 2717.999999999997700
8^log_4(196)-3C2x5-7= 2721.999999999997700
8^log_4(256)-9C3x7-1= 3507.000000000000000
…
8^log_2(976)-5C4x1-3=929714168.000000830000000
printfのフォーマットを
"%d^log%d(%d%d%d)-%dC%d-%d=%25.15lf\n"
のようにして出力したものを、Excelに取り込み、右辺の値を切り離してソートしました。
左辺が0になるケースはありませんでした。
小数点以下何桁0が続けば、小数点以下何桁9が続けば、整数とみなすのか。
前に書いたとおり、double型の10進数での有効桁数は14桁ということで、
if ( x > 0 ) {
y = floor(x*pow(10,13-floor(log10(x)))+0.5)/pow(10,13-floor(log10(x)));
} else {
y = floor(x*pow(10,13-floor(log10(-x)))+0.5)/pow(10,13-floor(log10(-x)));
}
左辺の値xが求まったとして、
log10を取って10進数の整数部の桁数を求める。
13桁から引いて、powで10の冪乗とした。
つまり、小数点の位置をずらしたわけです。
0.5を加えて、floorを取って、小数点以下を切り捨て。
小数点の位置を戻してたものをyとしました。
このyを使って、整数判定を行いました。
さて、7992行分のデータ。
もうすこし活かしましょう。
冪乗の項だけをピックアップして、重複の削除して、ソートしたものを新たなデータとします。
2^log_4(169)
2^log_4(196)
2^log_4(361)
2^log_4(576)
2^log_4(961)
3^log_4(256)
3^log_8(512)
3^log_9(256)
3^log_9(576)
3^log_9(625)
3^log_9(784)
3^log_9(841)
4^log_2(135)
4^log_2(136)
4^log_2(137)
4^log_2(138)
4^log_2(139)
4^log_2(153)
4^log_2(156)
4^log_2(157)
4^log_2(158)
4^log_2(159)
4^log_2(163)
4^log_2(165)
4^log_2(167)
4^log_2(168)
4^log_2(169)
4^log_2(173)
4^log_2(175)
4^log_2(176)
4^log_2(178)
4^log_2(179)
4^log_2(183)
4^log_2(185)
4^log_2(186)
4^log_2(187)
4^log_2(189)
4^log_2(193)
4^log_2(195)
4^log_2(196)
4^log_2(197)
4^log_2(198)
4^log_2(315)
4^log_2(316)
4^log_2(317)
4^log_2(318)
4^log_2(319)
4^log_2(351)
4^log_2(356)
4^log_2(357)
4^log_2(358)
4^log_2(359)
4^log_2(361)
4^log_2(365)
4^log_2(367)
4^log_2(368)
4^log_2(369)
4^log_2(371)
4^log_2(375)
4^log_2(376)
4^log_2(378)
4^log_2(379)
4^log_2(381)
4^log_2(385)
4^log_2(386)
4^log_2(387)
4^log_2(389)
4^log_2(391)
4^log_2(395)
4^log_2(396)
4^log_2(397)
4^log_2(398)
4^log_2(513)
4^log_2(516)
4^log_2(517)
4^log_2(518)
4^log_2(519)
4^log_2(531)
4^log_2(536)
4^log_2(537)
4^log_2(538)
4^log_2(539)
4^log_2(561)
4^log_2(563)
4^log_2(567)
4^log_2(568)
4^log_2(569)
4^log_2(571)
4^log_2(573)
4^log_2(576)
4^log_2(578)
4^log_2(579)
4^log_2(581)
4^log_2(583)
4^log_2(586)
4^log_2(587)
4^log_2(589)
4^log_2(591)
4^log_2(593)
4^log_2(596)
4^log_2(597)
4^log_2(598)
4^log_2(613)
4^log_2(615)
4^log_2(617)
4^log_2(618)
4^log_2(619)
4^log_2(631)
4^log_2(635)
4^log_2(637)
4^log_2(638)
4^log_2(639)
4^log_2(651)
4^log_2(653)
4^log_2(657)
4^log_2(658)
4^log_2(659)
4^log_2(671)
4^log_2(673)
4^log_2(675)
4^log_2(678)
4^log_2(679)
4^log_2(681)
4^log_2(683)
4^log_2(685)
4^log_2(687)
4^log_2(689)
4^log_2(691)
4^log_2(693)
4^log_2(695)
4^log_2(697)
4^log_2(698)
4^log_2(713)
4^log_2(715)
4^log_2(716)
4^log_2(718)
4^log_2(719)
4^log_2(731)
4^log_2(735)
4^log_2(736)
4^log_2(738)
4^log_2(739)
4^log_2(751)
4^log_2(753)
4^log_2(756)
4^log_2(758)
4^log_2(759)
4^log_2(761)
4^log_2(763)
4^log_2(765)
4^log_2(768)
4^log_2(769)
4^log_2(781)
4^log_2(783)
4^log_2(785)
4^log_2(786)
4^log_2(789)
4^log_2(791)
4^log_2(793)
4^log_2(795)
4^log_2(796)
4^log_2(798)
4^log_2(813)
4^log_2(815)
4^log_2(816)
4^log_2(817)
4^log_2(819)
4^log_2(831)
4^log_2(835)
4^log_2(836)
4^log_2(837)
4^log_2(839)
4^log_2(851)
4^log_2(853)
4^log_2(856)
4^log_2(857)
4^log_2(859)
4^log_2(861)
4^log_2(863)
4^log_2(865)
4^log_2(867)
4^log_2(869)
4^log_2(871)
4^log_2(873)
4^log_2(875)
4^log_2(876)
4^log_2(879)
4^log_2(891)
4^log_2(893)
4^log_2(895)
4^log_2(896)
4^log_2(897)
4^log_2(913)
4^log_2(915)
4^log_2(916)
4^log_2(917)
4^log_2(918)
4^log_2(931)
4^log_2(935)
4^log_2(936)
4^log_2(937)
4^log_2(938)
4^log_2(951)
4^log_2(953)
4^log_2(956)
4^log_2(957)
4^log_2(958)
4^log_2(961)
4^log_2(963)
4^log_2(965)
4^log_2(967)
4^log_2(968)
4^log_2(971)
4^log_2(973)
4^log_2(975)
4^log_2(976)
4^log_2(978)
4^log_2(981)
4^log_2(983)
4^log_2(985)
4^log_2(986)
4^log_2(987)
4^log_3(729)
4^log_8(125)
4^log_8(216)
4^log_8(512)
4^log_8(729)
5^log_3(729)
6^log_3(729)
6^log_8(512)
7^log_4(256)
7^log_8(512)
8^log_2(134)
8^log_2(135)
8^log_2(136)
8^log_2(137)
8^log_2(139)
8^log_2(143)
8^log_2(145)
8^log_2(146)
8^log_2(147)
8^log_2(149)
8^log_2(153)
8^log_2(154)
8^log_2(156)
8^log_2(157)
8^log_2(159)
8^log_2(163)
8^log_2(164)
8^log_2(165)
8^log_2(167)
8^log_2(169)
8^log_2(173)
8^log_2(174)
8^log_2(175)
8^log_2(176)
8^log_2(179)
8^log_2(193)
8^log_2(194)
8^log_2(195)
8^log_2(196)
8^log_2(197)
8^log_2(314)
8^log_2(315)
8^log_2(316)
8^log_2(317)
8^log_2(319)
8^log_2(341)
8^log_2(345)
8^log_2(346)
8^log_2(347)
8^log_2(349)
8^log_2(351)
8^log_2(354)
8^log_2(356)
8^log_2(357)
8^log_2(359)
8^log_2(361)
8^log_2(364)
8^log_2(365)
8^log_2(367)
8^log_2(369)
8^log_2(371)
8^log_2(374)
8^log_2(375)
8^log_2(376)
8^log_2(379)
8^log_2(391)
8^log_2(394)
8^log_2(395)
8^log_2(396)
8^log_2(397)
8^log_2(413)
8^log_2(415)
8^log_2(416)
8^log_2(417)
8^log_2(419)
8^log_2(431)
8^log_2(435)
8^log_2(436)
8^log_2(437)
8^log_2(439)
8^log_2(451)
8^log_2(453)
8^log_2(456)
8^log_2(457)
8^log_2(459)
8^log_2(461)
8^log_2(463)
8^log_2(465)
8^log_2(467)
8^log_2(469)
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8^log_2(473)
8^log_2(475)
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8^log_2(936)
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8^log_2(976)
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8^log_4(196)
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9^log_3(146)
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9^log_3(217)
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9^log_3(245)
9^log_3(246)
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9^log_3(265)
9^log_3(267)
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9^log_3(271)
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9^log_3(275)
9^log_3(276)
9^log_3(278)
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9^log_3(286)
9^log_3(287)
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9^log_3(415)
9^log_3(416)
9^log_3(417)
9^log_3(418)
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9^log_3(465)
9^log_3(467)
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9^log_3(475)
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9^log_3(517)
9^log_3(518)
9^log_3(521)
9^log_3(524)
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9^log_3(527)
9^log_3(528)
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9^log_3(542)
9^log_3(546)
9^log_3(547)
9^log_3(548)
9^log_3(561)
9^log_3(562)
9^log_3(564)
9^log_3(567)
9^log_3(568)
9^log_3(571)
9^log_3(572)
9^log_3(574)
9^log_3(576)
9^log_3(578)
9^log_3(581)
9^log_3(582)
9^log_3(584)
9^log_3(586)
9^log_3(587)
9^log_3(612)
9^log_3(614)
9^log_3(615)
9^log_3(617)
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9^log_3(621)
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9^log_3(645)
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9^log_3(648)
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9^log_3(671)
9^log_3(672)
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9^log_3(675)
9^log_3(678)
9^log_3(681)
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9^log_3(685)
9^log_3(687)
9^log_3(712)
9^log_3(714)
9^log_3(715)
9^log_3(716)
9^log_3(718)
9^log_3(721)
9^log_3(724)
9^log_3(725)
9^log_3(726)
9^log_3(728)
9^log_3(741)
9^log_3(742)
9^log_3(745)
9^log_3(746)
9^log_3(748)
9^log_3(751)
9^log_3(752)
9^log_3(754)
9^log_3(756)
9^log_3(758)
9^log_3(761)
9^log_3(762)
9^log_3(764)
9^log_3(765)
9^log_3(768)
9^log_3(781)
9^log_3(782)
9^log_3(784)
9^log_3(785)
9^log_3(786)
9^log_3(812)
9^log_3(814)
9^log_3(815)
9^log_3(816)
9^log_3(817)
9^log_3(821)
9^log_3(824)
9^log_3(825)
9^log_3(826)
9^log_3(827)
9^log_3(841)
9^log_3(842)
9^log_3(845)
9^log_3(846)
9^log_3(847)
9^log_3(851)
9^log_3(852)
9^log_3(854)
9^log_3(856)
9^log_3(857)
9^log_3(861)
9^log_3(862)
9^log_3(864)
9^log_3(865)
9^log_3(867)
9^log_3(871)
9^log_3(872)
9^log_3(874)
9^log_3(875)
9^log_3(876)
9^log_4(128)
9^log_4(256)
9^log_4(512)
9^log_8(512)
666行分のデータです。
aについて、
| a | 個数 |
| 2 | 5 |
| 3 | 7 |
| 4 | 215 |
| 5 | 1 |
| 6 | 2 |
| 7 | 2 |
| 8 | 220 |
| 9 | 214 |
bについて、
a^log_bについて
| a^log_b | 個数 |
| 4^log_2 | 210 |
| 8^log_2 | 210 |
| 4^log_3 | 1 |
| 5^log_3 | 1 |
| 6^log_3 | 1 |
| 8^log_3 | 1 |
| 9^log_3 | 210 |
| 2^log_4 | 5 |
| 3^log_4 | 1 |
| 7^log_4 | 1 |
| 8^log_4 | 9 |
| 9^log_4 | 3 |
| 3^log_8 | 1 |
| 4^log_8 | 4 |
| 6^log_8 | 1 |
| 7^log_8 | 1 |
| 9^log_8 | 1 |
| 3^log_9 | 5 |
4^log_2, 8^log_2, 9^log_3は汎用型で、いずれの個数も210個で合計630個
その他は合計36個
cde=n^2型について
| n | cde=n^2 | 個数 |
| 13 | 169 | 48 |
| 14 | 196 | 48 |
| 16 | 256 | 72 |
| 17 | 289 | 0 |
| 18 | 324 | 0 |
| 19 | 361 | 48 |
| 23 | 529 | 12 |
| 24 | 576 | 72 |
| 25 | 625 | 36 |
| 27 | 729 | 72 |
| 28 | 784 | 24 |
| 29 | 841 | 24 |
| 31 | 961 | 48 |
| n^2型 | 504 |
| その他 | 162 |
cde=n^3型について
| n | cde=n^3 | 個数 |
| 5 | 125 | 24 |
| 6 | 216 | 24 |
| 8 | 512 | 84 |
| 9 | 729 | 72 |
| n^3型 | 204 |
| その他 | 462 |
cde=2^m型について
| m | cde=2^m型 | 個数 |
| 7 | 128 | 24 |
| 8 | 256 | 72 |
| 9 | 512 | 84 |
| 2^m型 | 180 |
| その他 | 486 |
cde=3^m型について
| m | cde=3^m型 | 個数 |
| 5 | 243 | 0 |
| 6 | 729 | 72 |
| 3^m型 | 72 |
| その他 | 594 |
a^log_bとcdeで表を作りたかったが、アメブロ4万文字制限のため、まだまだ続きます。
ではでは
