正三角形の面積を2等分する線の最短距離は？

午後のひとときに、数学の問題を解いてみる。

問題
一辺が1000の正三角形がある。
この正三角形の面積を2等分する線の最短距離を求めよ。
但し、小数点以下は繰り上げて、整数とせよ。

文章問題
ある双子の兄弟が両親の死亡により、一辺が1kmの正三角形の土地を相続することとなった。
正三角形の土地を2等分するにあたり、2つの敷地の境目にフェンスを設ける必要に駆られ、業者に見積を出させたところ、1m当たり1万円という金額となった。
フェンスの設置費用は折半となり、出来るだけ短いフェンスであることが望まれる。
端数の1mに満たない距離は、どんなに短くとも1万円とする。
塀の設置費用は最低いくら？
単位は万円です。


シンキングターイム


まず、一辺が1000の正三角形の面積を求めると、
(500)×(500√3)=250000√3
これの半分なので、
S=125000√3
となるような正三角形を考え、その正三角形の辺の長さを2xとすると、面積はx²√3となり、
x²√3=125000√3
両辺を√3で割って、
x²=125000
x>0なので、
x=250√2
求めたいのは[2x]ですので、
[2x]=[500√2]=708

答え 708


さて、これが最短でしょうか？

実は違います。

半分の面積
S=125000√3
をもとに、フェンスの長さがもっと短くなるように考える。
というよりも、面積が同じならばどんな形状であればフェンスの長さが短くなるのかを考える。
つまり、フェンスは直線である必要はないのです。
というわけで、正三角形の頂角は60˚ですから、6個繋げれば360˚です。
6S=750000√3
これが円の面積となる半径rを求めると、
πr²=750000√3
r²=750000√3/π
r=500√3√3/π
半径が求まりましたので、今度は円周を求めます。
2πr=1000√3π√3
求めたいのは、円周の1/6なので、
[πr/3]=[500√3π√3/3]=674

答え 674


ではでは