パスカルの三角形とフラクタルの意外な関係

パスカルの三角形といえば、初等代数学の二項定理、二項展開で、(x±y)ⁿ を展開した際の各項の係数を簡単に求める方法として有名だったり、フィボナッチ数列が隠れていたり、新たな数列が見つかったり、…

方や、フラクタルといえば、幾何学の概念で、自己相似図形とか、マンデルブロ集合とか、…

で、最近知ったことなのですが、パスカルの三角形の各数値を偶数と奇数で色分けすると、
シェルピンスキーのギャスケットが現れるというもの。

実際にやってみると、
 

ああ、こんな簡単なことに、なぜいままで気が付かなかったのだろうか。

当然、シェルピンスキーのギャスケットと等しくするには、nを∞にすることとなるが、nを∞にせずとも、想像することは出来た。

まさか、パスカルの三角形とフラクタルにこんな関係性があったとは、数学とは不思議な学問であると再認識しました。

学問の発展において、学問の細分化ということがしばしば行われ、細分化されたところを深く掘り下げていく。

例えば、数学では代数学、幾何学、解析学と3つの分野に分けたり、更に細分化してそれぞれの専門家がより深く掘り下げていく。

同じ数学なのに畑違いといったことが平然と起こるのである。

今回のように意外なところで繋がりを見せるので、畑違いの方へと穴を掘らなければならないことも出てくるのであった。


ではでは