15度系から5度系、18度系から6度系を、それぞれ1/3倍角でカルダノ解法で求めたが、
3乗根が出てくるので、その後の展開にこまる。
というわけで、タイトルの18度系と15度系を使って加法定理を解くと、3度系を網羅出来るという算段です。
| cos(0˚)= sin(90˚)= | +1 |
| cos(3˚)= cos(357˚)= sin(93˚)= sin(87˚)= | + (√6+√2)√10+2√5+(√6-√2)(-1+√5) 16 |
| cos(6˚)= cos(354˚)= sin(96˚)= sin(84˚)= | + √15+√3+√10-2√5 8 |
| cos(9˚)= cos(351˚)= sin(99˚)= sin(81˚)= | + √10+√2+2√5-√5 8 |
| cos(12˚)= cos(348˚)= sin(102˚)= sin(78˚)= | + -1+√5+√30+6√5 8 |
| cos(15˚)= cos(345˚)= sin(105˚)= sin(75˚)= | + √6+√2 4 |
| cos(18˚)= cos(342˚)= sin(108˚)= sin(72˚)= | + √10+2√5 4 |
| cos(21˚)= cos(339˚)= sin(111˚)= sin(69˚)= | + (√6+√2)(1+√5)+(√6-√2)√10-2√5 16 |
| cos(24˚)= cos(336˚)= sin(114˚)= sin(66˚)= | + 1+√5+√30-6√5 8 |
| cos(27˚)= cos(333˚)= sin(117˚)= sin(63˚)= | + √10-√2+2√5+√5 8 |
| cos(30˚)= cos(330˚)= sin(120˚)= sin(60˚)= | + √3 2 |
| cos(33˚)= cos(327˚)= sin(123˚)= sin(57˚)= | + (√6+√2)√10+2√5-(√6-√2)(-1+√5) 16 |
| cos(36˚)= cos(324˚)= sin(126˚)= sin(54˚)= | + 1+√5 4 |
| cos(39˚)= cos(321˚)= sin(129˚)= sin(51˚)= | + (√6+√2)√10-2√5+(√6-√2)(1+√5) 16 |
| cos(42˚)= cos(318˚)= sin(132˚)= sin(48˚)= | + √15-√3+√10+2√5 8 |
| cos(45˚)= cos(315˚)= sin(135˚)= sin(45˚)= | + √2 2 |
| cos(48˚)= cos(312˚)= sin(138˚)= sin(42˚)= | + 1-√5+√30+6√5 8 |
| cos(51˚)= cos(309˚)= sin(141˚)= sin(39˚)= | + (√6+√2)(1+√5)-(√6-√2)√10-2√5 16 |
| cos(54˚)= cos(306˚)= sin(144˚)= sin(36˚)= | + √10-2√5 4 |
| cos(57˚)= cos(303˚)= sin(147˚)= sin(33˚)= | + (√6+√2)(-1+√5)+(√6-√2)√10+2√5 16 |
| cos(60˚)= cos(300˚)= sin(150˚)= sin(30˚)= | + 1 2 |
| cos(63˚)= cos(297˚)= sin(153˚)= sin(27˚)= | + -√10+√2+2√5+√5 8 |
| cos(66˚)= cos(294˚)= sin(156˚)= sin(24˚)= | + √15+√3-√10-2√5 8 |
| cos(69˚)= cos(291˚)= sin(159˚)= sin(21˚)= | + (√6+√2)√10-2√5-(√6-√2)(1+√5) 16 |
| cos(72˚)= cos(288˚)= sin(162˚)= sin(18˚)= | + -1+√5 2 |
| cos(75˚)= cos(285˚)= sin(165˚)= sin(15˚)= | + √6-√2 4 |
| cos(78˚)= cos(282˚)= sin(168˚)= sin(12˚)= | + -√15+√3+√10+2√5 8 |
| cos(81˚)= cos(279˚)= sin(171˚)= sin(9˚)= | + √10+√2-2√5-√5 8 |
| cos(84˚)= cos(276˚)= sin(174˚)= sin(6˚)= | + -1-√5+√30-6√5 8 |
| cos(87˚)= cos(273˚)= sin(177˚)= sin(3˚)= | + (√6+√2)(-1+√5)-(√6-√2)√10+2√5 16 |
| cos(90˚)= cos(270˚) sin(180˚)= sin(0˚)= | ±0 |
| cos(93˚)= cos(261˚)= sin(195˚)= sin(357˚)= | - (√6+√2)(-1+√5)-(√6-√2)√10+2√5 16 |
| cos(96˚)= cos(258˚)= sin(198˚)= sin(354˚)= | - -1-√5+√30-6√5 8 |
| cos(99˚)= cos(261˚)= sin(195˚)= sin(351˚)= | - √10+√2-2√5-√5 8 |
| cos(102˚)= cos(258˚)= sin(192˚)= sin(348˚)= | - -√15+√3+√10+2√5 8 |
| cos(105˚)= cos(255˚)= sin(195˚)= sin(345˚)= | - √6-√2 4 |
| cos(108˚)= cos(252˚)= sin(198˚)= sin(342˚)= | - -1+√5 2 |
| cos(111˚)= cos(243˚)= sin(201˚)= sin(339˚)= | - (√6+√2)√10-2√5-(√6-√2)(1+√5) 16 |
| cos(114˚)= cos(246˚)= sin(204˚)= sin(336˚)= | - √15+√3-√10-2√5 8 |
| cos(117˚)= cos(243˚)= sin(207˚)= sin(333˚)= | - -√10+√2+2√5+√5 8 |
| cos(120˚)= cos(240˚)= sin(210˚)= sin(330˚)= | - 1 2 |
| cos(123˚)= cos(237˚)= sin(213˚)= sin(327˚)= | - (√6+√2)(-1+√5)+(√6-√2)√10+2√5 16 |
| cos(126˚)= cos(234˚)= sin(216˚)= sin(324˚)= | - √10-2√5 4 |
| cos(129˚)= cos(231˚)= sin(219˚)= sin(321˚)= | - (√6+√2)(1+√5)-(√6-√2)√10-2√5 16 |
| cos(132˚)= cos(228˚)= sin(222˚)= sin(318˚)= | - 1-√5+√30+6√5 8 |
| cos(135˚)= cos(225˚)= sin(225˚)= sin(315˚)= | - √2 2 |
| cos(138˚)= cos(222˚)= sin(228˚)= sin(312˚)= | - √15-√3+√10+2√5 8 |
| cos(141˚)= cos(219˚)= sin(231˚)= sin(309˚)= | - (√6+√2)√10-2√5+(√6-√2)(1+√5) 16 |
| cos(144˚)= cos(216˚)= sin(234˚)= sin(306˚)= | - 1+√5 4 |
| cos(147˚)= cos(213˚)= sin(237˚)= sin(303˚)= | - (√6+√2)√10+2√5-(√6-√2)(-1+√5) 16 |
| cos(150˚)= cos(210˚)= sin(240˚)= sin(300˚)= | - √3 2 |
| cos(153˚)= cos(207˚)= sin(243˚)= sin(291˚)= | + √10-√2+2√5+√5 8 |
| cos(156˚)= cos(204˚)= sin(246˚)= sin(294˚)= | - 1+√5+√30-6√5 8 |
| cos(159˚)= cos(201˚)= sin(249˚)= sin(291˚)= | - (√6+√2)(1+√5)+(√6-√2)√10-2√5 16 |
| cos(162˚)= cos(198˚)= sin(252˚)= sin(288˚)= | - √10+2√5 4 |
| cos(165˚)= cos(195˚)= sin(255˚)= sin(285˚)= | - √6+√2 4 |
| cos(168˚)= cos(192˚)= sin(258˚)= sin(282˚)= | - -1+√5+√30+6√5 8 |
| cos(171˚)= cos(189˚)= sin(261˚)= sin(279˚)= | - √10+√2+2√5-√5 8 |
| cos(174˚)= cos(186˚)= sin(264˚)= sin(276˚)= | - √15+√3+√10-2√5 8 |
| cos(177˚)= cos(183˚)= sin(267˚)= sin(273˚)= | - (√6+√2)√10+2√5+(√6-√2)(-1+√5) 16 |
| cos(180˚)= sin(270˚)= | -1 |
さて、こういう式をユニーク（一意）にするために、法則を設けることとした。
まずは、分母の有理化は行うものとして、
根号や括弧において、降べきの順にならべるのだが、
整数、平方根、二重根号
の順である。
整数同士は加減算出来るために項は1つにまとまるが、平方根は根の中の大小で降順とし、根の符号には左右されませんので注意が必要。
また、共通の平方根の約数を持っていたとしても、根号や括弧の外に出さないこととし、出せるのは整数のみとした。
また、符号は明示的に分数の前に付けたので、分数部分は常に正となるようになっている。
今更、加法定理の説明は必要ないとは思うが、
cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)
を使って求めた。
別にsinを使っても結果は同じになるだろうが、私の頭の中での混乱や計算ミスが、より少ない方を使ったに過ぎない。
さて、3度系を網羅したから、ここから1/3倍角でカルダノの解法を使って1度系を網羅しますか？
流石に暇を持て余した私でも、そこまではやりませんよ。
もう3乗根はお腹いっぱいですので、
ではでは