レピュニット素数は無限に存在するのか

久々に数学の話題です。

レピュニット数は、このブログでも何度か扱ったかと思います。

レピュニットとは、repeat unitの略でrepunit。
簡単に言うと、1がn桁続く数です。

数式で表すと、
R_n=(10ⁿ-1)/9
となります。

R₁=1
R₂=11
R₃=111
R₄=1111
R₅=11111
…
のように無限に存在します。

そのなかで、素数になるものをレピュニット素数と呼びます。

レピュニット素数が無限に存在するだろうとは予想されていますが、無限に存在するかは証明されておらず、未解決の問題です。

例えば、R₁からR₅には素数はR₂=11だけで、R₁を除く残りは合成数になっています。

例えば、n=2m桁であれば、
11 素数
1111=11・10²+11・10⁰=11・101 合成数
111111=11・10⁴+1111=11・10⁴+11・10²+11・10⁰=11・10101 合成数
…
のように考えることが出来るので、2m+2桁は合成数である。

例えば、n=3m桁であれば、3の倍数判定より、合成数である。
111=3・37 合成数
111111=111・10³+111=111・1001 合成数
111111111=111・10⁶+111111=111・1001001 合成数
…
のように考えることが出来るので、3m桁は合成数である。

例えば、n=5m桁であれば、
11111=41・271　合成数
1111111111=11111・10⁵+11111=11111・100001
111111111111111=11111・10¹⁰+1111111111=11111・10000100001
のように考えることが出来るので、5m桁は合成数である。

これらから、nが素数でなければレピュニット素数にはなりえないということが解ります。

数学でいうところの、レピュニット数が素数であるためには、素数桁であることが必要条件であるということです。

必要十分条件ではなく、必要条件なので、逆は成り立ちません。
つまり、レピュニット数が素数桁であれば、レピュニット素数には、必ずしも成り立たないということです。

もし、レピュニット素数を探すのであれば、素数桁だけを探せば良いということですね。

因みに、
個目：桁数

1:2
2:19
3:23
4:317
5:1031
6:49081
7:86453
8:109297
9:270343

こんな感じですね。

まだ10個も見つかってないようですね。


ではでは