午後のひとときに、面白い計算式を紹介します。
問題
図のように無限に根号が続く式、無限多重根号があります。
xを求めよ。
xの値を求めるのは難しいかもしれませんが、どんな数、
例えば、有理数なのか無理数なのか、
例えば、大体これくらいの値か、
というのでも構いませんよ。
シンキングターイム
唐突ですが、答えからいきます。
答えは3です。
3を2乗してルートを取る。
ルートの中は9ですね。
9は1+8という和になります。
8は2×4という積になります。
4を2乗してルートを取る。
…
赤文字に着目すると、√9、√16、√25、と平方数のルートになっています。
青文字に着目すると、赤文字を整数としたときの±1の積になっています。
例えば、xに3以上の整数を順番に入れてみると、
赤文字部分は4の右辺と等しく、青文字部分は5の右辺と等しく、…
と内包されていくことがわかりますね。
nとして一般項を√の中に展開していくと、
右辺の中にnを係数とする√が登場します。
両辺を2乗して、…などとやっても意味がないですよ。
最初の図と照らし合わせれば、3の項まで図にあります。
nの一般項の計算式から、差が2の合成数で、1×3と3がだと直ぐに解りますね。
あえて整数だと考えて、適当な数を入れてみるというのもありですね。
因みに、ラマヌジャンとはインドの数学者です。
ではでは