一昨日に出題し、昨日解答した問題の、まだ新たな解法を考えていたのだが、やっぱり見つかりませんでした。
そんななか、タイトルの高さが解らない台形の面積の求め方です。
まず、台形とはなんぞやというところから話しをしましょう。
台形とは、
- 上底と下底が平行
- 一般的には左辺と右辺が平行ではない
ものを指す。
等脚台形とは、
- 上底と下底が平行
- 一般的には左斜辺と右斜辺が平行ではない
- 左辺と右辺の長さが等しい
ものを指す。
ここで、広義と狭義という単語を使って、もうすこし明確に定義付けをします。
広義とは、広い意味で、ということ
狭義とは、狭い意味で、ということ
広義の等脚台形といった場合、長方形、正方形は含まれ、
狭義の等脚台形といった場合、長方形、正方形、含まれない。
広義の平行四辺形といった場合、菱形、長方形、正方形は含まれ、
狭義の平行四辺形といった場合、菱形、長方形、正方形は含まれない。
広義の菱形といった場合、正方形は含まれ、
狭義の菱形といった場合、正方形は含まれない。
等脚台形と平行四辺形の決定的な違いは、
広義の等脚台形は、円に内接するが、
狭義の平行四辺形は、円に内接しない。
と表せます。
包含関係を式で表すと、
台形⊃等脚台形⊃長方形⊃正方形
平行四辺形⊃長方形⊃正方形
平行四辺形⊃菱形⊃正方形
右へ行くほど特殊な例ということですね。
等脚台形がどんなものか解ってきたところで、面積の求め方です。
包含関係の式からもわかるとおり、台形の面積の求め方で、等脚台形の面積は求められます。
台形の面積＝（上底＋下底）×高さ÷2
高さの情報が無い場合は、この式では求まりませんね。
三角形の3辺の長さから面積を求めるものとして、ヘロンの公式というものがあります。
私のブログの読者であれば、何度も登場しているのでご存知かとは思います。
3辺の長さが、a、b、cの
三角形の面積＝√(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/4
s=(a+b+c)/2 と置いて、
三角形の面積＝√s(s-a)(s-b)(s-c)/4
といったものが有名ですね。
これを応用すると、
台形の面積＝(上底＋下底）√(上底＋左斜辺＋右斜辺－下底)(－上底＋左斜辺＋右斜辺＋下底)/4
等脚台形の面積＝(上底＋下底）√(上底＋2×斜辺－下底)(－上底＋2×斜辺＋下底)/4
といったような式も作れます。
とは言っても、ヘロンの公式からいきなりは難しいかな？
2つの三角形を繋げて、四辺形を作ったとして、余弦定理も利用すると、
四辺形の4辺の長さと対角の和から求める式、
4辺の長さが、a、b、c、d
対角の和をθとし、
s=(a+b+c+d)/2として、
四辺形の面積＝√(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd・cos2(θ/2)/4
というのが作れるかと思います。
こういう似たものも含めて、考えてみるのも面白いかと思います。
ではでは