円に内接する六角形の対角の長さ -解答編-

解答編です。

まだ頑張ってる人は見ないでね。

ヒントや取っ掛かりが欲しいならば、次の補助線入の図をどうぞ。



考え得る補助線を引いて、交点や角に文字を振ってみました。

円に内接する六角形の各頂点に円の中心点Oから線を引くと、
頂角α、底辺7、斜辺rの二等辺三角形が3個、
頂角β、底辺14、斜辺rの二等辺三角形が3個、
とすることが出来る。

余弦定理より、
7²=2r²-2r²cos(α)=2r²(1-cos(α))
14²=2r²-2r²cos(β)=2r²(1-cos(β))
という式が立式できる。

各二等辺三角形の頂角の和から、
3α+3β=2π
という式も立式できる。

これら3式から、r、cos(3α)が求まれば、こちらも余弦定理で
x²=2r²(1-cos(3α))
のように、xを求めることが出来るということになる。


まず、それぞれの余弦定理を、左辺をcosの式に変形する
7²=2r²(1-cos(α)) → cos(α)=1-(7/(r√2))²
14²=2r²(1-cos(β) → cos(β)=1-(14/(r√2))²=1-4*(7/(r√2))²

右辺の変数rが分母にあったり、ルートがあったり、2乗があったり、複雑ですので、共通部分を
t=(7/(r√2))² とおいて、
cos(α)=1-t

cos(β)=1-4t
のように簡単な式にしておきます。

xを求めるには、cos(3α)が必要なので、
cos(α)、cos(β)、それぞれの3倍角を考える。
3倍角の公式を知っているならばそれはそれで良いですが、
加法定理から導いても良いでしょう。

cos(3α)=4cos³(α)-3cos(α)
cos(α)=1-tを代入すると、
cos(3α)=4*(1-t)³-3*(1-t)
=4*(1-3t+3t²-t³)-3*(1-t)
=4-12t+12t²-4t³-3+3t
=-4t³+12t²-9t+1

cos(3β)=4cos³(β)-3cos(β)
左辺のcos(3β)は、3α+3β=2πより、
cos(3β)=cos(2π-3α)=cos(-3α)=cos(3α)
のように変形出来、
cos(3α)=4cos³(β)-3cos(β)
cos(β)=1-4tを代入すると、
=4*(1-4t)³-3*(1-4t)
=4*(-64t³+48t²-12t+1)-3*(1-4t)
=-256t³+192t²-48t+4-3+12t
=-256t³+192t²-36t+1

どちらも左辺はcos(3α)なので、右辺同士を等式で結ぶと、
-4t³+12t²-9t+1=-256t³+192t²-36t+1
252t³-180t²+27t=0

28t³-20t²+3t=0

t(28t²-20t+3)=0
t(2t-1)(14t-3)=0
t=0, 1/2, 3/14

t=(7/(r√2))² → r²=7²/(2t) → r=±7/√2t
rは半径なので正より、r=7/√2t
t=0のとき、0除算および、r=∞となり、不適。
t=1/2のとき、r=7となり、α=π/3、β=πとなり、不適。
t=3/14のとき、r=7√7/3

cos(3α)=-4t³+12t²-9t+1
=-4*(3/14)³+12*(3/14)²-9*(3/14)+1
=-4*(27/2744)+12*(9/196)-9*(3/14)+1
=-4*27/2744+14*12*9/2744-14²*9*3/2744+14³/2744
=(-4*27+14*12*9-196*9*3+2744)/2744
=(-108+1512-5292+2744)/2744
=-1144/2744
=-143/343

x²=2r²(1-cos(3α))
=2*(343/3)*(1+143/343)
=2*(343/3)*(486/343)
=2*486/3
=2*162
=2*2*9*9
xは正なので、
x=18


結構面倒な式で、計算が大変でしたが求まりました。
しかもxは整数でした。

xが整数ならば、もっと簡単な解法があるのではないだろうか、と考えこんでしまって、1晩考えてみましたが、結局何も思い浮かびませんでした。
もし、何らかの簡単な解法があるのであれば、教えてくださいね。


ではでは

PS：この記事をあげた直後に、新しい解法を思いつきました。
さて、簡単に求まるのかどうか。