灘中の入試問題です。
7が10桁続く7777777777の2乗は20桁になるが、
前半10桁と後半10桁を足した値を求めよ。
シンキングターイム
さて、どうやって解こうかな。
なんだかんだ筆算するのが速そうな気がします。
とは言っても、ご丁寧に全部やっていては時間がかかりすぎる。
とりあえず掛ける数の1の位を計算すると、
7777777777×7
になるわけで、これは、
1111111111×7×7＝1111111111×49
なわけであるから、
49が1桁ずつズレながら１０回足されることになる。
※テキストベースなので、桁あわせのために0を書くことをご了承ください。
11桁で揃えています。
00000000049
00000000490
00000004900
…
04900000000
49000000000
を足すわけだから、
54444444439
これが1桁ずつズレながら10回足されるわけです。
前半10桁と後半10桁を分けて計算するということは、
0000000005 4444444439
0000000054 4444444390
0000000544 4444443900
…
5444444443 9000000000
のようになる。
この前半と後半を縦に並べて計算するわけですが、
9が1個、5が1個、3が1個、4が8個であることは、どの桁でも同じですから、
9+5+3+4×8=49
つまり、49が1桁ずつズレながら10回足されるわけです。
ただし、今回は一番最初の計算と違うのは、後半10桁で4が繰り上げられていること。
つまり10桁の、
0000000004
0000000049
0000000490
…
0490000000
4900000000
9000000000
という足し算ということになり、
答えは、
14444444443
さて、後学のために7以外のものもやってみよう。
面倒なので電卓で計算させてみると、
2の場合、04938271603950617284となり、0493827160+3950617284=4444444444
3の場合、11111111108888888889となり、1111111110+8888888889=9999999999
4の場合、19753086415802469136となり、1975308641+5802469136=7777777777
5の場合、30864197524691358025となり、3086419752+4691358025=7777777777
6の場合、44444444435555555556となり、4444444443+5555555556=9999999999
7の場合、60493827148395061729となり、6049382714+8395061729=14444444443
8の場合、79012345663209876544となり、7901234566+3209876544=11111111110
9の場合、99999999980000000001となり、9999999998+0000000001=9999999999
これと見比べて合っていればよいわけで、
間を端折る方法を使うと、
2の場合、2×2=04、1111111111×(0+4)=4444444444
3の場合、3×3=09、1111111111×(0+9)=9999999999
4の場合、4×4=16、1111111111×(1+6)=7777777777
5の場合、5×5=25、1111111111×(2+5)=7777777777
6の場合、6×6=36、1111111111×(3+6)=9999999999
7の場合、7×7=49、1111111111×(4+9)=14444444443
8の場合、8×8=64、1111111111×(6+4)=11111111110
9の場合、9×9=81、1111111111×(8+1)=9999999999
というように即答出来てしまうということなのだろう。
試験問題なので、時間を掛けるわけにはいかないだろうから、
柔軟な発想やテクニックを磨くのと同時に、
数学クイズや数学マジック的なものも、
知識として覚えておくことも大事なんだろうな。
ではでは