xのy乗とyのx乗の大小比較問題

数学の問題には値だけ異なるような類題というものがある。

タイトルのパターンも簡単なものから難解なものまであったりする。

例えば、
2の3乗と3の2乗はどっちが大きい？
といった算数レベルの問題から、
eのπ乗とπのe乗はどっちが大きい？
といった高等数学レベルの問題まで幅が広い。

xやyの値が整数ならば、計算して示せば良いが、有理数や無理数となると極端に難しく感じる。

2の3乗は2を3回掛けた数であるから、2×2×2＝8
3の2乗は3を2回掛けた数であるから、3×3＝9
よって、3の2乗の方が大きいことが容易にわかる。

値が有理数となると、問題文に必要なlogの値が示されていたりする。

では、難しいとされるeのπ乗とπのe乗の大小比較をしてみよう。


e^π と π^e

このままの形で比較出来るわけがないので、なんらかの変換をする必要があるのだろうと、誰しもが考える。

例えばa, b, cは正の実数として、 a^c と b^c のように指数の部分が等しかったならば、どうでしょうか。
a＜b ならば a^c＜b^c 
のようになるのは、それほど難しくはありません。
ｙ＝a^x と ｙ＝b^x
というグラフを描いて見れば解ります。
x＝0が、交点となるので、x＞0だけを考えれば良いので、それほど難しくはないかと思われます。

幸い、e も π も正の実数であり、大小関係は

0＜e＜π
と解っています。

では、指数が同じになるように、eのπ乗にはe乗を、πのe乗にはπ乗をしてみます。
（e^π)^e と (π^e)^π
これらは、
e^eπ と π^eπ
となって、指数が等しくなります。
更に、
（e^1/e)^eπ と (π^1/π)^eπ
これで、指数の分母分子を約分すると、
e^π と π^e
を比較しているのと同じということが解ります。

簡単に言えば、双方ともに、1/eπ乗したと言えます。
1/eπも正の実数なので問題ありませんね。

もうここまでくると、皆まで言うなとなりそうですね。
解ったのであれば、自分自身でやってみて、結論を出してみると良いかと思います。

これらの値は
y＝x^1/x 
という関数に出来ますね。

この関数のグラフが描ければ、何らかの判断が出来そうである。

このままでは微分出来ないので、両辺の対数を取ります。
ln(y)＝ln(x^1/x)
右辺の指数が外に出せ、
ln(y)＝(1/x)・ln(x)
両辺をxで微分します。
(1/y)・y'＝(－1/x²)・ln(x)＋(1/x)・(1/x)＝(1/x²)・(1－ln(x))
両辺に y、つまり x^1/x を掛けて、
y' = x^1/x・(1/x²)・(1－ln(x))
この式が＝0となるxを求めると、
x^1/x≠0
(1/x²)≠0
より、
1－ln(x)＝0 → x＝e

増減表を書いてみます。
 

極大は e で
e^1/e＞π^1/π
0＜e＜π、eπ＞0 より、
(e^1/e)^eπ＞(π^1/π)^eπ
e^π＞π^e
と大小関係が示せましたね。
 

どんなグラフかイメージが付きにくいので、実際に描いてみました。
 

x、yの縮尺を等しくせずに、縦に2.5倍しました。

e^1/e≒1.444667861009766133658339108596430223058595453242253165820
 

(x, y)＝(e, e^1/e)を頂点として、右側はかなり緩やかな下り坂ですが、どこまで下るのでしょうか。

lim{x->∞} x^1/x＝1ですので、
x＝1に上から単調減少で限りなく近づくということになりますが、1にはなりません。


さて、今回は e と π でしたので、x＝eの時に最大でしたので、問題なく解けました。

もし、eを挟んだ値の比較で、計算し難い問題が更に難問となりそうですね。

yが取りうる範囲は、
0＜y＜e^1/e

で、
0＜y≦1 において、xの解は1つで、0＜x≦e
1＜y＜e^1/e において、xの解は2つで、1つは0＜x＜e、もう一つはe＜x＜∞
y＝e^1/e において、xの解は1つで、x＝e
となります。

例えば、y＝1になるxの値を求めると、
1＝x^1/x
x＞0なので、両辺をx乗すると、
1^x＝x
x＝1
と解が1つだけです。

例えば、y＝√2になるxの値を求めてみると、
√2＝x^1/x
2^1/2＝x^1/x
この時点で、x＝2は直ぐに解りますね。
両辺を4x乗すると、
2^4x/2＝x^4x/x
2^2x＝x⁴
(2²)^x＝x⁴
4^x＝x⁴
x＝2とx＝4の2つの解が見つかります。

まぁ、2⁴ と 4² の大小比較は計算で直ぐに等しいことがわかりますね。

このような問題で、eを跨いだ自然数ではない有理数や無理数で、logの値が示されて居なかったら、解くのは困難でしょうね。
まぁ、πやeほどの数学的に面白い値があるかと言われると無いでしょうね。


ではでは