バーゼル問題をオイラーはどのように求めたのか。

バーゼル問題とは、平方数の逆数の総和はいくつ？という問題。

1644年にピエトロ・メンゴリによって提起され、1735年にレオンハルト・オイラーによって解かれた。



Σの式にすると、こんな感じです。

これの分母が2乗ではなく1乗だった場合、どうなるのかは、積み木の問題でやったね。

等差数列の逆数の和は発散する。

をおさらいしておこうか。

1/1だけを除外して、残りを順番に1個、2個、4個、8個、…、2ⁿ個と分ける
括弧内の一番右の項が一番小さな数ですから、括弧内の他の数を一番右の数に合わせた式は、元の式より小さくなるのは自明。
括弧内を計算すると、1/1以外はすべて1/2となり、元の式より小さい式が∞に発散するので、元の式も∞に発散することが簡単に証明できる。
とはいっても、このように括弧で括るというアイディアというかテクニックで、簡単に導けたとも言えますね。

では、今回のバーゼル問題を考えて見よう。

バーゼル問題は、収束するのだろうか、振動するのだろうか、発散するのだろうか。



分母のn²はn(n-1)よりも大きい。
分母が大きくなるということは、分子が等しければ、結果小さくなるということ。
括弧の中を計算せずに、括弧を外して、一個ずらして括弧をつけていくと、
括弧内は0になって、収束することが解る。

まぁ、ちょっと乱暴な証明のような気がする。
例えば、不等号の左辺のバーゼル問題が－∞に発散する可能性もあるし、振動する可能性も残されている。
あくまでも、＋∞に発散しないという証明にすぎない。

さて、冒頭でも書いたとおり、値を示したのはオイラーである。
どんな方法で求めたのか、さわりだけでも紹介したい。

これが、昨日上げた記事のsin xのマクローリン展開が関係しているのです。

では、さわりをざっと説明します。

sin xのマクローリン展開の式の両辺をxで割る。
これは次数を下げるのが狙いで、x²の係数が重要になります。
マクローリン展開とは別に、(sin x)/xを因数分解の形にしようとすると、
sin nπ=0 より、
xはπの自然数倍で、sin x=0にならなければならないので、
上記の様に因数分解できると考えられる。
符号の異なる括弧をまとめ、低冪の順に展開していく。
定数項は (a)：1/1! と (b)：1 と(a)式と(b)式は等しい。
当然、x²の係数も等しいので、バーゼル問題の式は π²/6 に収束するということです。

やっぱり、オイラーは常人とは違うねぇ。


ではでは