ちょっと頭の中をよぎっていることを、整理するため、客観視するために記事にしてみる。
頂角が135˚、斜辺が1の二等辺三角形の底辺の長さを求めるとして、
一般的に考えると余弦定理を使うことになるだろう。
a=b=1、∠C=135˚を代入すると、
cos135˚を数値にすると、
これを代入し、
cは二等辺三角形の底辺なので、正の数より、
のような二重根号の形になった。
二重根号の外し方として、
aとbの大小関係や正負を限定するならば、こういうことになる。
a+b=2
ab=2
になるようなa、bが見つかれば、先の二重根号は外すことが可能なのだが、そのような有理数を見つけることは出来ない。
では、無理数や複素数なら見つかるのだろうか、という考えが頭をよぎる。
そこでこんな式の登場です。
cが実数であることは、先に示した通りである。
また、上記式の分母が実数であることも明白であり、そうなると分子も実数でなくてはならない。
1+i と 1-i は、iの符号の正負の違い、つまり共役な複素数と呼ばれるものです。
それぞれ√でくくられていますが、それぞれが複素数であることに変わりはありません。
共役な複素数同士の四則演算は面白い性質がありますが、今回はそこは置いておきましょう。
さて、cの計算式がいろいろと出て来ましたけど、本当に合ってるの？
という疑問が湧くでしょう。
というわけで、Excelで計算式を書いてみましょう。
余弦定理の式
=SQRT(2-2*COS(RADIANS(135)))
二重根号の式
=SQRT(2+SQRT(2))
共役複素数の式
=IMSUM(IMPOWER(COMPLEX(1,1),1/2),IMPOWER(COMPLEX(1,-1),1/2))/POWER(2,1/4)
いずれの式も、
1.847759065
といった値を返します。
つまり、二重根号の式と共役複素数の式は等しいわけです。
ここまでは、かなり頭の中で整理されている。
そこで、二重根号の式から共役複素数の式へ、もしくはその逆へ、二重根号を外すような簡単な方法で導けないかと考えているということ。
二重根号を外す、a、bに相当する共役な複素数を容易に求める方法があればいいな。
てか、高校の授業でやったのかの記憶がないんだよね。
やっていたとしても、計算や式変形が苦手な数学屋なので、思い出すのにすごい時間が掛かるんだよね。
ではでは
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二重根号の外し方と共役複素数
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