正八角形の問題

午後のひとときに、数学の問題を解いてみよう。

問題
1辺が1の正八角形ABCDEFGHがある。



線分AEと線分CHとの交点をXとしたとき、XFの長さを求めよ。

シンキングターイム

どうやって求めるのが得策なのだろうか。



XからEFに垂線の足をおろしてYとする。

XYとYFが求まれば、ピタゴラスの定理で求められる。
ピタゴラスの定理を使うので、それぞれ2乗を求めておくと楽だろうか。

直角二等辺三角形の斜辺が1のとき、残りの2辺は1:1:√2より、1/√2
これより、


ここでYFの値を求めたいのだが、遠回りかもしれないがXEの長さを考えてみる。

CH//EF
であるから、
∠AXH=∠XEF
であり、
⊿HAXはHを頂点とする二等辺三角形である。
よって、
XH=1
とわかる。
これより、


よって、


思ってたよりも簡単に導けました。


ではでは