面積を求めよ -解答編-

昨日の問題の解答編です。

まだまだ考えたい人は、閉じるか戻ってください。



いきなり赤色部分が求まるわけではありません。
特に画期的な方法で導くわけではなく、泥臭くひとつずつ考えてみましょう。

まず、赤色部分を含む、面積を求められそうな図形を考えてみると、



といった橙色部分だろう。
扇型ABD－三角形ABD＝橙色部分
扇形ABD＝10×10×π÷4＝25π
三角形ABD＝10×10÷2＝50
橙色部分＝25π－50≒28.5398163397

同様に、



黄色部分＝橙色部分÷4＝(25π－50)/4≒7.1349540849

あとは、



この色付き部分の計算はちょっと面倒かと思うが、A=(0,0)としたときのE、F、Gの座標を代数的に求めてみると解りやすい。

A=(0,0)を中心とする半径10の円の式は、
x²+y²=10²=100

H=(5,10)を中心とする半径5の円の式は、
(x-5)²+(y-10)²=5²=25

これらの式を連立方程式として解くと、F=(8,6)となる。
同様に、Gはy=xに対してFの対称点であるから、G=(6,8)となる。
E=(5,5)なので、

緑色部分＝扇形AFG－三角形AFG
扇形AFG＝100π×(arctan(4/3)－arctan(3/4))÷2π
＝50・arctan(4/3)－50・arctan(3/4)
≒14.1897054604
線分FG＝2√(2)≒2.8284271247
三角形AFG＝√(100－2)×2√(2)÷2＝14
緑色部分＝50・arctan(4/3)－50・arctan(3/4)－14
≒0.1897054604

青色部分＝扇形HEF－三角形HEF
扇形HEF＝25π×arctan(3/4)÷2π＝25・arctan(3/4)/2
≒8.0437638599
三角形HEF＝√(25－5/2)×√(10)÷2＝√(225)/2＝15/2＝7.5
青色部分＝(25・arctan(3/4)－15)/2≒0.5437638599

水色部分＝√(10－2)×2√(2)÷2＝√(16)＝4



紫色部分＝緑色部分＋2×青色部分＋水色部分
＝50・arctan(4/3)－50・arctan(3/4)－14＋2・(25・arctan(3/4)－15)/2＋4
＝50・arctan(4/3)－50・arctan(3/4)－14＋25・arctan(3/4)－15＋4
＝50・arctan(4/3)－25・arctan(3/4)－25

よって、
赤色部分＝橙色部分÷2－黄色部分＋紫色部分÷2
＝橙色部分÷4＋紫色部分÷2
＝(25π－50)/4＋(50・arctan(4/3)－25・arctan(3/4)－25)/2
＝(25π－50＋100・arctan(4/3)－50・arctan(3/4)－50)/4
＝(25π＋100・arctan(4/3)－50・arctan(3/4)－100)/4
＝25(π＋4・arctan(4/3)－2・arctan(3/4)－4)/4

arctanが2項あるのが気持ち悪いので、なんとかしたいですね。

前に、交点F、Gについてarctan(4/3)やarctan(3/4)が出てきました。
つまりこれはy=xで対称な点であるので、
arctan(4/3)＝π/2－arctan(3/4)
のように変形できます。

＝25(π＋4・(π/2－arctan(3/4))－2・arctan(3/4)－4)/4
＝25(π＋2π－4・arctan(3/4)－2・arctan(3/4)－4)/4
＝25(3π－6・arctan(3/4)－4)/4
≒9.7735706751

どうでしたか？
難しかったですか？


ではでは