久々に数学の記事を書きます。
私のブログでも円周率が登場する式は、いくつも扱っています。
私もどれくらい書いたかわかりません。
今回紹介する式は、数列の積で円周率が登場する形となります。
A[1]=√(1/2)
A[n]=√((1/2)+(1/2)A[n-1])
という漸化式の数列があって、この漸化式の数列の積が2/πに収束するということです。
こんな単純な式なのですが、思っていたよりも収束が速いです。
多倍長演算で計算させてみたところ、
n=100までやると、
A[n]=
0.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999992322662628196919736258835551683290273843
となり、1に収束していき、
Π{n=1 to 100}=
0.6366197723675813430755350534900574481378385829618257949906695391537461914169784327596099452324688824
となりますので、逆数を取って2倍すると、
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749437883389268600552759778092858956250281312
と、円周率の近似値を示しており、円周率
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679
と比較すると、
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494
と60桁（小数点以下59桁）等しい。
さて、この式ですが、FBの数学のコミュニティで見たものなのですが、よくよく調べてみると誰が見つけたものか解りました。
1579年フランソワ・ビエト(1540-1603)によるものでした。
すごいですねぇ。
自分は400年以上も前の数式を、やれ簡潔な式だの、収束が速いだの言ってるだけだからねぇ。
先人も時代によって、
円に内接または外接する正多角形から幾何的に解くのが流行っていたり、
逆三角関数の級数展開の解析的に解くのが流行っていたり、
モジュラー関数によるラマヌジャン型が流行っていたり、
時代には流行がある。
コンピュータの時代に生きている自分は、これら先人の見出した数式をコンピュータにインプットして、式の正しさを証明する、式のポテンシャルを計測する、式の美しさ、先人の凄さを伝えるの使命なのだろう。
ではでは
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2/πに収束する数列の積
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