本日も、午後のひとときに問題を解いてみる。
1997に1以上の整数をかけて、「9」の数字が5個連続してあらわれるような積を作る。
このような積のうち、もっとも小さいものを求めよ。
どういう方針で進めようかな。
私のような勘ぐるタイプは、この問題が1997年に出さなければならない何らかの理由があると考えてしまう。
例えば、前年の1996年では綺麗な解答にならないとかそういう理由があったんではないだろうかということです。
まず、ある自然数の一部に9が連続して現れる例として、一番簡単なのは、
10^n－1
であり、5個連続を満たす最小は、
10^5－1＝100000－1＝99999
である。
この式を見て、
a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)
がひらめいて、
(a・10^n＋b)(a・10^n－b)＝a^2・10^2n－b^2
a, b, n∈自然数
というような式に出来ると話が早い。
このパターンにおいて、一番小さな積は、a＝2, b＝3, n＝3と容易にみつけることができる。
(2000＋3)(2000－3)＝4000000－9＝3999991
3999991はかなり小さい部類だろう。
あとは、これより小さいものが存在するのか否かをスマートに求められれば良い。
ただ、全員が全員、こんなひらめきがあるかといえば、それはないでしょう。
まず、末尾5桁が9のケースで一番小さな積を考えると、
1997の一の位の7に何を掛けたら、9になるかといえば、7である。
1997×7＝13979
13979の十の位が7なので、7に何を掛けたら、9－7＝2になるかといえば、6である。
1997×67＝133799
133799の百の位が7なので、…、6である。
1997×667＝1331999
1331999の千の位が1なので、7に何を掛けたら、9－1＝8になるかといえば、4である。
1997×4667＝9319999
9319999の万の位が1なので、…、4である。
1997×44667＝89199999
とりあえず、算数の範疇のテクニックで、一番小さいかは解らないが、該当するものを1つは見つけることが出来た。
この後は、このパターンではないこれより小さいケースだけを考えればよいとなる。
まぁ、この方法も見いだせない人もいるだろう。
逆に、先頭5桁が9のケースで一番小さな積を考えると、
999990÷1997＝500...1490
999991÷1997＝500...1491
…
999999÷1997＝500...1499
当たり前だが、桁数が変わらなければ、割る数が1増えれば、余りも1増えるのである。
9999900÷1997＝5007...921
…
9999999÷1997＝5007...1020
99999000÷1997＝50074...1222
1997×50075＝99999775
と、これも算数のテクニックの範疇で見つかる。
おそらくは、小さい桁数のものから順番に確認していく方法を取るひとが一番多いのではないだろうか。
5桁の場合、99999÷1997＝50...149で存在せず。
6桁で、一の位から上位へ5桁が9の場合、存在せず。
6桁で、十の位から上位へ5桁が9の場合、存在せず。
7桁で、一の位から上位へ5桁が9の場合、存在せず。
7桁で、十の位から上位へ5桁が9の場合、3999991が見つかる。
このあたりをスマートにやるにはmodを理解しないとならないだろう。
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算数オリンピックファイナル97
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