二等辺三角形の頂角の角度を求めよ -解答編その1-

解答編と銘打っているが、解答できるのだろうか。

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図のように、点Dから辺BCへ垂線を下ろし、足をEとする。

まぁ、これは誰でも考えついたことだろう。

ここからはガリレオになった気分で、あのBGMを脳内で流してお読みください。

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sin(x)の3次方程式になりました。
2次方程式だったなら、解の公式で終わってたんですが、まだまだ骨が折れますよ。
カルダノの解法を使います。

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分子が7になって、なにやら嫌な予感がしますが続けます。

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かなり簡潔になりました。

とりあえず、値を求められるところまでは来たので、3つのsin(x_n)を求めてみる。
皆さんも検算したいでしょうから、テキストデータにしておきます。

sin(x₀)≈+0.90096886790241912623610231950744505116591916213185
sin(x₁)≈-0.62348980185873353052500488400423981063227473089640
sin(x₂)≈+0.22252093395631440428890256449679475946635556876454

手計算で√3=1.7320508（人並みにおごれや）くらいまでしか覚えてないので、ここは多倍長演算で小数点以下50桁まで求めてみました。
これをarcsin(sin(x_n))=x_nで、とりあえずラジアン（弧度法）を求めてみる。

x₀[rad]≈+1.12199737628206901373665835117125103007041764263394
x₁[rad]≈-0.67319842576924140824199501070275061804225058558037
x₂[rad]≈+0.22439947525641380274733167023425020601408352852678

これでピンと来た人がいたら人間業じゃないです。
ラジアンをやめてデグリー（度数法）にします。
180/π倍します。

x₀[deg]≈+64.28571428571428571428571428571428571428571428571334
x₁[deg]≈-38.57142857142857142857142857142857142857142857142841
x₂[dag]≈+12.85714285714285714285714285714285714285714285714256

これで見えてきたのではないだろうか。
いずれも小数点以下が6桁毎で循環しているのが確認出来る。
とは言っても無限桁確認したわけではないが。
「人並みにおごれや」程度の桁数では見逃すところでした。
50桁求めておいてよかった。
この循環小数は見覚えがあります。
これは7倍すれば整数になります。

x₀[deg]=+450/7
x₁[deg]=-270/7
x₂[deg]=+90/7

まぁ、ここはちょっと目をつぶってくださいな。

さて、これらすべてが解かというと、そうではありません。
二等辺三角形ABCの内角なので、
0<2x<180
0<x<90
より、
n=0, 2
と絞られ、また、
AB=1
BD=√2
より、作図可能なものとして、
n=2
に限定され、
θ=2x=(180/7)˚

答えθ=(180/7)˚=π/7

高校で複素数や複素平面を習うにしても、カルダノの解法を習うかと言われると難しい。
逆三角関数を手計算するのも無理がある。
かなりの無理を押し通した結果です。

他の解法は、また翌日に紹介します。


ではでは