(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=n part6

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ついに、0＜x≦y≦z＜100万まで検索してしまいました。

これも単にコンパイラの-O3オプションの性能の賜でgcc様様です。

100万まで検索してトータルいくつあったのかというと、予想の400個よりも少し少なめの385個でした。

さて、1000万まではやりません。
なぜかというと、プログラムの内部で
(x+y+z)(yz+xz+xy)%xyz
を計算する必要があり、
（因みに%演算子は剰余、つまりあまりを求める演算です。）
x≦y≦zという条件を付けている以上、x=y=zの可能性も捨てていません。
とは言っても、x=y=z=1だけ、同じ比率であれば、gcd(x, y, z)=1という条件を付けているので、回避は出来ているのだが、イコールが消えただけに過ぎないので、限りなく近づくことは想定している。

つまり上記の式は、
(z+z+z)(zz+zz+zz)%zzz
でもあり、
(3z)(3z²)%z³
9z³%z³
になる可能性があるということ。

64ビット型符号なし整数で演算しているので、
0x0≦9z³≦0xffffffffffffffff
である必要があり、整数型で最大値で考えると、
0＜x≦y≦z≦1270259
ということにならざるを得ません。

データをエクセルでまとめてあるのですが、もし1000万まで検索したとしても、おそらく800個程度しか見つからないだろうと思います。
100万までで、対にして233対です。

因みに、自分自身は100万未満だが、相方が100万を超えていているケースで対として求めているものもある。

zが最大は、
x=362, y=1351, z=279254402
で、
(x+y+z)(yz+xz+xy)=133585871044329292120

(x+y+z)(yz+xz+xy)が最大は、
x=699, y=4791, z=226981610
で、
(x+y+z)(yz+xz+xy)=282855976924840263900

どちらにしても、完全に64ビットを超えていますので、やるなら多倍長演算を組み込むことになるので、更に劇的に重くなることは解りますので、絶対にやらないという決意が出来ます。

探索ではなく、もっと画期的な方法で安直に求められるならば、多倍長演算でガンガン求めていきますよ。
ただ、今回のような不定方程式にそんな方法があるのかは、どちらかというと門外漢なのでわかりません。

実は、この不定方程式は、出題者によると、
X=-4(yz+zx+xy)/z²
Y=2(X-4n)y/z-(n-1)X
とすると、楕円曲線 E、
E : Y²=X³+(n²-6n-3)X²+16nX
となり、双有理同値になるそうです。

結果的に楕円曲線の有理点を求めてたのか。
知らんかった。
 

ではでは