(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=n part4

まだ、この問題に取り組んでいます。

今回は、今までの考え方をやめて、アプローチを変えました。

なんでかというと、今までの方法は間違っていて、そこを直したら遅すぎたから。

x≦y≦z
という条件にしても一般性を失わないことから、xとyを決めて、yをその範囲で動かすということで、
x≦y≦z＜fin
という終了条件まで見つけるということをやっていました。

今までの方法のたたき台のソースは、

for (z=1; z<fin; z++) {
    for (x=1; x<=z; x++) {
        for (y=x; y<=z; y++) {
            /* x, y, zからnを求めて、nが整数になるかを判定 */
        }
    }
}

枝刈りをしていない状態が、こんなようなネストになります。

sqxz = sqrtl(x*z)+0.5L;
for (y=x; y<sqxz; y++) {
}

のような、yのレンジの枝刈りや、
for (y=x, c=0; y<sqxz && c<1; y++) {

    /* yが見つかったらc++ */
}
のような、yの片割れだけを見つけるとかやってました。

が、この方法には問題がありました。

どんな問題かというと、
x≦sqrtl(x*z)≦z
のようにsqrtl(x*z)で二分して、前半だけしか調べていない。
finのレンジにおいて、後半にyの答えがあって、前半はfinのレンジの外にあるということがあるからです。

例えば、fin=100として検索させたとして、
x=1, y=35, z=90, n=131は、
sqrtl(x*z)≒9.48で、y=35はsqrt(x*z)より後に出現する。
片割れは、
x=7, y=18, z=630, n=131で、
sqrtl(x*z)≒66.40で、y=18はsqrt(x*z)より前に出現する。

つまり、
for (y=x; y<sqxz; y++) {
}
という枝刈りでは上記データは盲点になって、fin=100では見つけられないのである。

よって、
for (y=x, c=0; y<=z && c<1; y++) {
}
という枝刈りを採用せざるを得ない。

これは、finが大きくなればなるほど、時間を要することになるので、私の構想としてはfin=10万くらいまでは求めたいという欲求は、何ヶ月も掛かってしまうことだろう。

プログラムがくそ遅いので、その分時間があったので他の方法を考えてみた。

xとzが定まれば、nのレンジも定まるのではないだろうか？

yの取り得る範囲は、xからzまで。
つまり、y=x、y=z、y=sqrt(x*z)のときの、nの値を求めてみよう。

n=(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)
y=xのとき、
n=(2x+z)(2/x+1/z)=(2x+z)((x+2z)/xz)=(2x+z)(x+2z)/xz
y=zのとき、
n=(x+2z)(1/x+2/z)=(x+2z)((2x+z)/xz)=(2x+z)(x+2z)/xz
と、同じ値になる。

y=sqrt(xz)のとき、
n=(x+z+sqrt(xz))(1/x+1/z+1/sqrt(xz))

大小関係は、
(x+z+sqrt(xz))(1/x+1/z+1/sqrt(xz))≦n≦(2x+z)(x+2z)/xz

nは整数なので、
⌈(x+z+sqrt(xz))(1/x+1/z+1/sqrt(xz))⌉≦n≦⌊(2x+z)(x+2z)/xz⌋
と、前者を天井関数、後者を床関数で括ることができる。

nのレンジが定まりました。
x, z, nからyを求める方法を考えます。

n=(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)
=(x+y+z)(xy+xz+yz)/xyz
nxyz=(x+y+z)(xy+xz+yz)
nxyz=x²y+x²z+xyz+xy²+xyz+y²z+xyz+xz²+yz²
yの方程式にする。
(x+z)y²+(x²+z²-(n-3)xz)y+(x²z+xz²)=0
(x+z)y²+(x²+z²-(n-3)xz)y+(x+z)xz=0
a=x+z
b=x²+z²-(n-3)xz
c=(x+z)xz
2次方程式の解の公式ですね。
d=b²-4ac
dが負になることで枝刈りできます。
また、yは整数になるには、dは平方数である必要があります。
平方数判定は出来ますが、さらにネストを増やすのでやめました。

a, b, c, dは小数として計算して、
sqd = sqrtl(d);
y1 = 0.5L+(-b+sqd)/(2.0L*a);
y2 = 0.5L+(-b-sqd)/(2.0L*a);
と二つの解を求め、x, y, zからnを計算して判定すればよい。

この方法でプログラムを組んでみたら、めちゃくちゃ高速でした。
体感で100倍くらいは速い。
これならfin=10万も、現実味が出てきました。
64ビットで計算が収まるならfin=100万も行けるかな？


ではでは