無理数の無理数乗は常に無理数か？

午後のひとときに、数学の問題を考えます。

問題
無理数の無理数乗は常に無理数か？
有理数になるものがあれば示し、無ければ証明せよ。

シンキングターイム


実に面白い問題ですね。

例えば、
(A^A)^A
というものを考えてみる。
(A^A)^A=A^A×A=A^(A2)
と変換出来るので、
A²=2
となるAを求めると、
A=√2
で、√2は無理数である。

√2が無理数であることを一応証明してみる。

√2が有理数だと仮定し、自然数m, nを使い、
√2=n/m
と表せる。
両辺を2乗すると、
2=n²/m²
2m²=n²
ここで、左辺と右辺の素因数の個数を考えると、
m²、n²の素因数の個数は、2乗していることから共に偶数個であり、
左辺は2があるので奇数個、右辺は偶数個となり矛盾する。
よって、√2は無理数。

A=√2のとき、A^Aが有理数か無理数か不明だとしても、実数であることは明白。
A^Aが有理数であれば、そのまま題意を満たす。
A^Aが無理数であれば、
(A^A)^A=A^A×A=A^(A2)
A²=2より、
(A^A)^A=2
となり、
A^Aは無理数で、(A^A)^Aは有理数となり、題意を満たす。
//

因みに、A=√2のとき、A^Aは無理数であり、超越数である。

例えば、上記方法で、



このように定義すると、このパターンだけでも無数に存在することを示せる。


ではでは