円周上に有理点は無数に存在するのか？

午後のひとときに、数学の問題を考えてみよう。

問題
原点を中心とする円の円周上に、有理点は無数に存在するのか。

有理点とは、(x, y)座標において、x、y、共に有理数になるような点である。

原点(0, 0)を中心とし半径mの、円の方程式は、
x²+y²=m² ...(1)

x切片を-m、y切片をn、m>n>0、とする直線の方程式は、
y=(n/m)x+n ...(2)

m>nという条件から、(1)式、(2)式の交点は2点あり、(-m, 0)と、もうひとつは第一象限に存在する。

第一象限の交点の座標を求める。
(2)式を(1)式に代入、
x²+((n/m)x+n)²=m²
x²+(n²/m²)x²+(2n²/m)x+n²-m²=0
((m²+n²)/m²)x²+(2n²/m)x+n²-m²=0 ...(3)

(3)式は、(-m, 0)を通るので、(x+m)で割り切れ、
(x+m)(((m²+n²)/m²)x+(n²-m²)/m)=0
((m²+n²)/m²)x+(n²-m²)/m=0
((m²+n²)/m²)x=(m²-n²)/m
x=m(m²-n²)/(m²+n²) ...(4)

(2)式に(4)式を代入すると、
y=(n/m)(m(m²-n²)/(m²+n²))+n
y=n(m²-n²)/(m²+n²)+n
y=(n(m²-n²)+n(m²+n²))/(m²+n²)
y=2m²n/(m²+n²) ...(5)

(4)、(5)より、2つの交点は、
(x, y)={ (-m, 0), (m(m²-n²)/(m²+n²), 2m²n/(m²+n²)) }
m, nが有理数であれば、上の2点は四則演算のみなので有理点となる。
m>nという条件より、有理数mより小さな有理数nは無数に存在するので、第一象限だけをみても、有理点は無数に存在することが証明された。


さて、第一象限の交点を(1)式に代入すると、
(m(m²-n²)/(m²+n²))²+(2m²n/(m²+n²))²=m²
(m(m²-n²))²+(2m²n)²=m²(m²+n²)²
m²(m²-n²)²+4m⁴n²=m²(m²+n²)²
(m²-n²)²+(2mn)²=(m²+n²)² ...(6)

(6)式はピタゴラスの定理と等しいので、
a²+b²=c²
とすると、
a=m²-n²
b=2mn
c=m²+n²
という式で表せる。

なるほど、ここにつながるわけですね。


ではでは