角の三等分と逆三角関数の加法定理

久々に、午後のひとときに数学の問題を解いてみよう。

問題

図のように、AB=4、BC=5、CA=6の三角形に、∠Aの3等分線を引く。
θを求めよ。



シンキングターイム


余弦定理
c²=a²+b²-2ab*cosC
より、
-2ab*cosC=c²-a²-b²
cosC=(c²-a²-b²)/(-2ab)
C=arccos((c²-a²-b²)/(-2ab))
よって、
∠A[rad]=arccos((5²-4²-6²)/(-2*4*6))=arccos(27/48)=arccos(9/16)
∠C[rad]=arccos((4²-5²-6²)/(-2*5*6))=arccos(45/60)=arccos(3/4)
θ[rad]=arccos(9/16)/3+arccos(3/4)
θ[deg]=(arccos(9/16)/3+arccos(3/4))*180/π
=60*(arccos(9/16)+3*arccos(3/4))/π

arccosの加法定理を考える。
α=cosA

β=cosB

とおくと、
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
A+B=arccos(cosAcosB-sinAsinB)
arccosα+arccosβ=arccos(αβ-√((1-cos²A)(1-cos²A))
arccosα+arccosβ=arccos(αβ-√(1-α²)(1-β²))

arccosの2倍角は、
2*arccosα=arccos(α²-(1-α²))=acos(2*α²-1)

2*arccos(3/4)=arccos(2*9/16-1)
=arccos(9/8-1)
=arccos(1/8)

arccos(3/4)+arccos(1/8)=arccos(3/32-√(1-9/16)(1-1/64))
=arccos(3/32-√(7/16)(63/64))
=arccos(3/32-21/32)
=arccos(-18/32)
=arccos(-9/16)
=π-arccos(9/16)

∴
θ[deg]=60*(arccos(9/16)+π-arccos(9/16))/π
=60*(π/π)
=60

//

もっと簡単な方法がありそうな気がしますが、泥臭い方法ですが求められたので良しとします。


ではでは