午後のひとときに、数学の問題を解いてみましょう。
問題
図のように3つの円が接している。
1) a=225、b=100のとき、cの長さを求めよ。
2) a、b、cの関係を1式で簡潔に表わせ。
ここでいう簡潔とは、式にa、b、cそれぞれの出現回数が出来る限り少ないものとする。
シンキングターイム
1)
まずは、幾つかの補助線を引いたことでしょう。
aとb、aとc、bとcを結んだ直線は引いたかと思う。
これら3辺を斜辺とする直角三角形が見いだせる。
また、それぞれの垂線の足をx、y、zとすると、
xy = √(225+100)²-(225-100)² = √325²-125² = √90000 = 300 ... (i)
xz = √(225+c)²-(225-c)² = √900c = 30√c ... (ii)
yz = √(100+c)²-(100-c)² = √400c = 20√c ... (iii)
(i) = (ii) + (iii) より、
300 = 30√c + 20√c = (30+20)√c = 50√c ... (iv)
√c = 6
c = 36
2)
(i)～(iv)式をa、b、cで表すと、
xy = √(a+b)²-(a-b)² = 2√ab ... (i')
xz = √(a+c)²-(a-c)² = 2√ac ... (ii')
yz = √(b+c)²-(b-c)² = 2√bc ... (iii')
√ab = √ac + √bc ... (iv')
この式では、まだまだ簡潔とはいい難い。
両辺を√abcで割って、変数の順番を考慮すると、
1/√c = 1/√a + 1/√b
PS:
この問題は、FBに上がっていたもので、私は(1)の方法で導いたのですが、外国の方々は(2)の方法を知っているかのようでした。
もしかすると、海外では公式として既知であったりするのかもしれません。
そういう経緯があったので、2)のような問題を追加してみました。
(2)を考えることで、(1)ではかなり余計な計算をしていることが解ります。
ただ、(2)の式を公式として暗記する必要はないと私は思っています。
それは、ピタゴラスの定理から容易に導くことが出来るからです。
どこまでが容易かは個々によるかとは思いますが。
結局、cを求めるために、c=の式にしたとして、
c = ab/(√a+√b)²
のような式になるので、この式も覚えなければならなくなります。
例えば、プログラマとかになったとして、値を求めなければならないならば、このような最終形態の式をプログラムに組み込むことが最善だったりしますが、それも結局は導ければ良いという結論になるかと思います。
まぁ、どこまで覚えるかは個々の問題なので、こんな式もあったなぁ程度でもいいかもしれません。
ではでは
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3円問題
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