円に内接する三角形の面積 -解答編-

解答編です。



補助線を引き、必要な点にアルファベットを振りました。

点Oは、外心ですね

半径をr=OA=OB=OC=OD=OE=OF、∠Aの対辺をa、∠Bの対辺をb、∠Cの対辺をcとすると、



の様に、ピタゴラスの定理から求められます。

さて、三角形ABCの面積ですが、



のような3通りの方法が考えられます。

S₁は、外心を頂点とする3つの二等辺三角形の和、⊿OAB+⊿OBC+⊿OBAです。

S₂は、ヘロンの公式を使い、s=(a+b+c)/2を使わずにa、b、cのみで表したものです。

S₃は、外心円の半径と内接する三角形の辺の長さから求めています。

それぞれの式のa、b、cをrに置き変えたものが右辺になります。

実は、この計算も結構骨が折れます。


さてさて、当然ですが、それぞれの面積は等しいので、3つのうち2つを選び、等号で結んで半径rを求めることになります。

これが一番の難関でした。



rがこんな簡単な三角関数の式に出来ました。

このrを、一番rの出現が少ないS₂の式に代入し、



と求まりました。


PS:
最初は、代数的な解法を諦め、Excelを使い、r=3.87938524157182まで求めました。

そもそも、この問題は、Facebookに投稿されたもので、面積Sを5択から選択するものでした。

その5択が、12、12.5、13、13.5、14、というものでしたが、いずれも納得のいくものではなく、選べませんでした。

そういう経緯もあって、解析的に半径を求め、該当する面積が存在しないことを突き止めました。

その後、ネットの力を借りて、代数的に計算したところ、思っていたよりも簡潔な式になったということです。

この値が正しいかどうかの検算は、先の記事やこの記事で上げた正確な図形が描けていることからも解ります。

因みに、いつもの通り、HTML5 + Javascriptです。


ではでは