コマ大数学科の問題です。
問題
120˚を起点に時計回りに5˚ずつ増え続ける角を持つ多角形は、何角形か？
すべて答えよ。
![]()
前もって言っておきます。
タイトルからもわかる通り、この問題は検算や見直しが如何に大事かがわかる問題です。
心して掛かってください。
それでは解いてみましょう。
まず、n角形の内角の和は、180(n-2)という式で表せます。
n角形(n>3)は隣り合わない頂点同士を直線で結ぶことで(n-2)個の三角形に分割出来ます。
三角形の内角の和が180˚なので、180(n-2)を容易に導くことが出来ます。
続いて、問題のn角形の内角の和は、
すべての角は120˚以上になるので、120の下駄を履いた状態、つまり120n
下駄を除いた部分は、0+5+10+...+5(n-1)=5n(n-1)/2
180(n-2)=120n+5n(n-1)/2
360(n-2)=240n+5n(n-1)
72(n-2)=48n+n(n-1)
72n-144=48n+n2-n
n2-25n+144=0
(n-9)(n-16)=0
n=9, 16
検算
n=9のとき、
180×(9-2)=120×9+5×9×(9-1)/2
1260=1080+180
1260=1260
n=16のとき、
180×(16-2)=120×16+5×16×(16-1)/2
2520=1920+600
2520=2520
答えは9角形と16角形
はい、不正解です。
実際に描いてみました。
![]()
120+125+130+135+140+145+150+155+160=1260
9角形は問題なく描けました。
![]()
120+125+130+135+140+145+150+155+160+165+170+175+180+185+190+195=2520
もうお分かりですね。
赤で色を付けてみましたよ。
180˚は角ではありませんので、16角形ではなく、15角形が正解となります。
数学的に0˚も180˚も角度としてはありますが、多角形の角の数と言った場合は180˚は角には含まれません。
もし、含んでしまったら、すべてが無限大角形になって、分類として意味を成さなくなりますね。
番組放送時、東大生チーム、たけしチームは不正解、コマ大チームのみの正解という前代未聞の珍事でした。
コマ大チームは、一見すると数学的ではない手間のかかる算数的なアプローチで答えを求めようとしていたかと思います。
さて、ここでやった検算は、本当に検算だったのでしょうか？
確かに、代数的な間違いはなく、nは9と16なのです。
検算でもそれが正しいことが示されてもいます。
検算が不十分だったのかもしれません。
見直しが足りなかったのかもしれません。
思い込みが激しかったのかもしれません。
数学にもひっかけ問題があるということを知っておく必要があるということですね。
さてさて、話は変わりますが、上記の図形です。
この問題を説明するうえで、図形のサンプルが絶対的に必要でした。
しかし適当なお絵かきソフトを持ち合わせていないので、メモ帳を使って、HTML5とJavascriptを使って書いて、描いてみました。
一般的に図形を描く場合、辺の長さと角度がある程度決まらないと描きづらい。
今回の問題のように角度はすべて決まっているが、辺の長さに自由度があるので、なかなか思うように行かないだろう。
辺の長さが変化しても相似が保たれるのは三角形だけだからですね。
こういう図形を適当に描けるアプリとかあればいいなぁとは思います。
無ければ、作ればいいんですよね。
各辺の傾きは不変で、各辺は辺に対して垂直方向にしか移動できない仕組みを作って、その移動範囲を自分自身や隣接する辺が無くならないように限定すれば、n角形を保ったまま微調整が出来そうですね。
ただ、初期状態をどうすればいいのか悩みますね。
これがクリア出来るようなら、ほぼ完成です。
まぁ、そこまで作りこんでいませんが、とりあえず描けたので、今回は良しとしてます。
さて、画像にグレーで文字を書いてありますが、ネタフリでもあります。
多角形を英語でPolygonといいますが、数学的な図形は英語で何と言うんだろうか。
幾つか載せておくので、参考程度にどうぞ。
triangle
トライアングル、トライは3という意味で、アングルは角ですね。
regular triangle
正三角形
acute-angled triangle
鋭角三角形
obtuse-angled triangle
鈍角三角形
ｒight triangle
right-angled triangle
直角三角形、right angleは右の角ではなく、直角なんですよ。
isosceles triangle
二等辺三角形
isosceles right triangle
right-angled isosceles triangle
直角二等辺三角形
quadrangle
tetragon
四角形
rectangle
長方形、矩形
square
正方形
parallelogram
平方四辺形
rhomboid
菱形
trapezoid（米語）
trapezium（英語）
台形
isosceles trapezoid
等脚台形
kite
凧形
polygon
多角形
convex polygon
凸多角形
concave polygon
凹多角形
pentagon 五角形
hexagon 六角形
heptagon/septagon 七角形
octagon 八角形
nonagon/enneagon 九角形
decagon 十角形
hendecagon 十一角形
dodecagon 十二角形
triskaidecagon 十三角形
tetradecagon 十四角形
pentadecagon 十五角形
hexadecagon 十六角形
heptadecagon 十七角形
...
問題
120˚を起点に時計回りに5˚ずつ増え続ける角を持つ多角形は、何角形か？
すべて答えよ。
前もって言っておきます。
タイトルからもわかる通り、この問題は検算や見直しが如何に大事かがわかる問題です。
心して掛かってください。
それでは解いてみましょう。
まず、n角形の内角の和は、180(n-2)という式で表せます。
n角形(n>3)は隣り合わない頂点同士を直線で結ぶことで(n-2)個の三角形に分割出来ます。
三角形の内角の和が180˚なので、180(n-2)を容易に導くことが出来ます。
続いて、問題のn角形の内角の和は、
すべての角は120˚以上になるので、120の下駄を履いた状態、つまり120n
下駄を除いた部分は、0+5+10+...+5(n-1)=5n(n-1)/2
180(n-2)=120n+5n(n-1)/2
360(n-2)=240n+5n(n-1)
72(n-2)=48n+n(n-1)
72n-144=48n+n2-n
n2-25n+144=0
(n-9)(n-16)=0
n=9, 16
検算
n=9のとき、
180×(9-2)=120×9+5×9×(9-1)/2
1260=1080+180
1260=1260
n=16のとき、
180×(16-2)=120×16+5×16×(16-1)/2
2520=1920+600
2520=2520
答えは9角形と16角形
はい、不正解です。
実際に描いてみました。
120+125+130+135+140+145+150+155+160=1260
9角形は問題なく描けました。
120+125+130+135+140+145+150+155+160+165+170+175+180+185+190+195=2520
もうお分かりですね。
赤で色を付けてみましたよ。
180˚は角ではありませんので、16角形ではなく、15角形が正解となります。
数学的に0˚も180˚も角度としてはありますが、多角形の角の数と言った場合は180˚は角には含まれません。
もし、含んでしまったら、すべてが無限大角形になって、分類として意味を成さなくなりますね。
番組放送時、東大生チーム、たけしチームは不正解、コマ大チームのみの正解という前代未聞の珍事でした。
コマ大チームは、一見すると数学的ではない手間のかかる算数的なアプローチで答えを求めようとしていたかと思います。
さて、ここでやった検算は、本当に検算だったのでしょうか？
確かに、代数的な間違いはなく、nは9と16なのです。
検算でもそれが正しいことが示されてもいます。
検算が不十分だったのかもしれません。
見直しが足りなかったのかもしれません。
思い込みが激しかったのかもしれません。
数学にもひっかけ問題があるということを知っておく必要があるということですね。
さてさて、話は変わりますが、上記の図形です。
この問題を説明するうえで、図形のサンプルが絶対的に必要でした。
しかし適当なお絵かきソフトを持ち合わせていないので、メモ帳を使って、HTML5とJavascriptを使って書いて、描いてみました。
一般的に図形を描く場合、辺の長さと角度がある程度決まらないと描きづらい。
今回の問題のように角度はすべて決まっているが、辺の長さに自由度があるので、なかなか思うように行かないだろう。
辺の長さが変化しても相似が保たれるのは三角形だけだからですね。
こういう図形を適当に描けるアプリとかあればいいなぁとは思います。
無ければ、作ればいいんですよね。
各辺の傾きは不変で、各辺は辺に対して垂直方向にしか移動できない仕組みを作って、その移動範囲を自分自身や隣接する辺が無くならないように限定すれば、n角形を保ったまま微調整が出来そうですね。
ただ、初期状態をどうすればいいのか悩みますね。
これがクリア出来るようなら、ほぼ完成です。
まぁ、そこまで作りこんでいませんが、とりあえず描けたので、今回は良しとしてます。
さて、画像にグレーで文字を書いてありますが、ネタフリでもあります。
多角形を英語でPolygonといいますが、数学的な図形は英語で何と言うんだろうか。
幾つか載せておくので、参考程度にどうぞ。
triangle
トライアングル、トライは3という意味で、アングルは角ですね。
regular triangle
正三角形
acute-angled triangle
鋭角三角形
obtuse-angled triangle
鈍角三角形
ｒight triangle
right-angled triangle
直角三角形、right angleは右の角ではなく、直角なんですよ。
isosceles triangle
二等辺三角形
isosceles right triangle
right-angled isosceles triangle
直角二等辺三角形
quadrangle
tetragon
四角形
rectangle
長方形、矩形
square
正方形
parallelogram
平方四辺形
rhomboid
菱形
trapezoid（米語）
trapezium（英語）
台形
isosceles trapezoid
等脚台形
kite
凧形
polygon
多角形
convex polygon
凸多角形
concave polygon
凹多角形
pentagon 五角形
hexagon 六角形
heptagon/septagon 七角形
octagon 八角形
nonagon/enneagon 九角形
decagon 十角形
hendecagon 十一角形
dodecagon 十二角形
triskaidecagon 十三角形
tetradecagon 十四角形
pentadecagon 十五角形
hexadecagon 十六角形
heptadecagon 十七角形
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